2025年国际数学奥林匹克（IMO）模拟试卷：代数几何数论综合解题技巧

一、代数

要求：解答下列代数问题，展示解题过程，并给出最终答案。

1.已知实数\(a\)、\(b\)、\(c\)满足\(a+b+c=0\)，且\(a^2+b^2+c^2=3\)。求\(a^3+b^3+c^3\)的值。

2.设\(f(x)=ax^2+bx+c\)，其中\(a\)、\(b\)、\(c\)为实数且\(a\neq0\)。若\(f(x)\)的图象与\(x\)轴相切于点\(A(x_1,0)\)，且\(f(x)\)的图象在\(x\)轴的右侧部分完全位于\(x\)轴之上。求\(a\)、\(b\)、\(c\)的取值范围。