2025年国际数学奥林匹克（IMO）数论难题模拟试卷（数论在代数几何中的应用）

一、数论基础

要求：解答下列数论基础问题。

1.设\(a\)和\(b\)是两个正整数，且\(ab\)。若\(a^2-b^2\)能被4整除，则\(a\)和\(b\)的奇偶性关系是什么？

2.设\(n\)是正整数，证明：若\(n\)是4的倍数，则\(n^2\)也是4的倍数。

3.设\(a\)和\(b\)是两个互质的正整数，证明：\(a^2+b^2\)不能被4整除。

二、数论在代数中的应用

要求：解答下列数论在代数中的应用问题。

4.设\(a\)和\(b\)是两个正整数，且\(ab\)。若\(a^