2025年国际数学奥林匹克模拟试卷：数论难题与代数几何应用

一、数论问题

1.已知整数a、b、c满足a^2+b^2+c^2=29，且a、b、c互不相同。求证：存在整数p、q，使得p^2+q^2=29。

2.证明以下数论性质：若n是任意正整数，则存在整数a、b，使得n^2+2n=a^2+b^2。

3.设p是素数，且p3，证明以下性质：对于任意正整数n，若n^2≡1(modp)，则存在整数m，使得n^2=m^2(modp)。

二、代数几何问题

1.设椭圆C的方程为x^2+2y^2=1，直线L的方程为y=kx+m。求证：直线