2025年国际数学奥林匹克模拟试卷：几何与数论解题技巧

一、平面几何

要求：本题主要考查平面几何中的角、线、圆的基本性质以及平面几何证明的技巧。

1.在三角形ABC中，∠A=30°，∠B=60°，∠C=90°，点D、E分别在BC、AC上，使得BD=2CE。求证：∠BDA=∠BEC。

2.已知在圆O中，直线l与圆相交于点A、B，∠AOB=60°，点P在圆上，且∠APB=120°。求证：AP=2OP。

二、数论

要求：本题主要考查数论中的约数、质数、同余等概念，以及数论证明的技巧。

1.设p为奇素数，m为正整数，且m≠1。证明：如果p能整除m^2+1，则p也能整除m^2-m。

2.设n为正