2025年国际数学奥林匹克模拟试卷数论难题破解：实战演练与答案

一、数论基础与应用

要求：请根据所学数论知识，解答以下问题。

1.已知正整数n，证明以下结论：若n为偶数，则n的因数个数是奇数；若n为奇数，则n的因数个数是偶数。

（1）若n为偶数，证明n的因数个数是奇数；

（2）若n为奇数，证明n的因数个数是偶数。

2.已知正整数a、b、c，且满足a^2+b^2=c^2，求证：a、b、c是勾股数。

3.已知正整数m、n，且满足m^2-n^2=2mn，求证：m、n、m-n是勾股数。

二、同余与模运算

要求：请根据所学同余与模运算知识，解答以下问题。

1.已知正整数a、b，且