第一章三角形的证明第1课时角平分线的性质定理与判定定理4角平分线

新课导入壹

[知识拓展]用尺规作已知角的平分线.已知:∠AOB,求作∠AOB的平分线OC.3.画射线OC,射线OC即为所求.1.以顶点O为圆心,适当长为半径画弧,交OA于M,交OB于N.2.分别以点M,N为圆心,大于MN的长为半径画弧,两弧在∠AOB的内部交于点C.ABMoNC新课导入

讲授新课贰

自学P28想一想以上内容（角平分线性质定理的证明）思考下列问题：该定理是利用什么证明的？讲授新知

证明：角平分线上的点到角两边的距离相等.已知：如图，OC是∠AOB的平分线，点P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E．

求证：PD=PE．E证明:∵PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别为D,E,∴∠PDO=∠PEO=90°.∵∠1=∠2,OP=OP,∴△PDO≌△PEO(AAS).∴PD=PE(全等三角形的对应边相等).讲授新知

定理：角平分线上的点到这个角的两边距离相等.∵P是∠AOB的平分线OC上任意一点,PD⊥OA于点D,PE⊥OB于点E.∴PD=PE.E证明：∵OC是∠AOB的平分线，∴∠1=∠2.∵PD⊥OA,PE⊥OB,∴∠PDO=∠PEO.∵OP=OP,∴△OPD≌△OPE(AAS).∴PD=PE.讲授新知

1.已知：如图，OC是∠AOB的平分线，点P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E．PE=5cm，PD=_____．E2.如图，在⊿ABC中，∠C=90O，∠ABC的平分线交AC于D，若CD=3cm，则点D到AB的距离是()A．5cmＢ.4cmＣ.3cmＤ.2cmEＣ5cm新知应用

在一个角的内部,到角的两边距离相等的点,在这个角的平分线上.已知:如图所示,点P为∠AOB内一点,PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别为D,E且PD=PE,求证OP平分∠AOB.证明:∵PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别为D,E,∴∠ODP=∠OEP=90°.∵PD=PE,OP=OP,∴Rt△DOP≌Rt△EOP(HL).∴∠1=∠2(全等三角形的对应角相等).∴OP平分∠AOB.E自学P28--29想一想以下到例1以上的内容（角平分线判定定理的证明）讲授新知

你能写出下面这个定理的逆命题吗?性质定理:角平分线上的点到这个角的两边距离相等.如果有一个点到角两边的距离相等，那么这个点必在这个角的平分线上．这是一个真命题吗？如果是，请证明；如果不是，请举出反例．不是真命题，是假命题．在角的外部，也存在到角两边距离相等的点，但是这个点不在这个角的平分线上．讲授新知

已知：在∠AOB内部有一点P，且PD⊥OA，PE⊥OB，D、E为垂足且PD=PE.求证：点P在∠AOB的平分线上．证明：∵PD⊥OA，PE⊥OB，∴∠PDO=∠PEO=90°，在Rt△ODP和Rt△OEP中，OP=OP，PD=PE，∴Rt△ODP≌Rt△OEP(HL)．∴∠1=∠2(全等三角形对应角相等)．∴点P在∠AOB的平分线上E角平分线判定定理：在一个角的内部，且到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上．讲授新知

1.如图，在△ABC中，D是BC上的一点，M是AD上的一点，ME⊥AB，MF⊥AC，且ME=MF，则AD一定是（）A、边BC的中线B、边BC的中垂线C、∠BAC的平分线D、边BC上的高C新知应用

2.已知:如图,在△ABC中,AD是它的角平分线,且BD=CD,DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别是E,F.求证:EB=FC.BAEDCF证明:∵AD是△ABC的角平分线，且DE⊥AB,DF⊥AC，∴DE=DF.∵BD=CD,∴Rt△BDE≌Rt△CDF(HL).∴EB=EC.讲授新知

当堂训练叁

1.如图所示,在△ABC中,CD是AB边上的高线,BE平分∠ABC,交CD于点E,BC=5,DE=2,则△BCE的面积等于()A.10 B.7 C.5 D.4C2.如图所示,在△ABC中,∠A=90°,BD平分∠ABC,AD=2cm,则点D到BC的距离为cm.?2当堂训练

3.如图所示,在△ABC中,∠C=90°,BC=40,AD是∠BAC的平分线交BC于点D,且DC∶DB=3∶5,则点D到AB的距离是.?154.如图所示,已知BD是∠ABC的平分线,CD是∠ACB的外角平分线,由点D出发,分别作点D到BC,AC和AB的垂线DE,DF和DG,垂足分别为