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专项训练5平行线与数学思想方法
一．转化思想
1．如图，将直角三角形ABC沿AB方向平移2cm得到△DEF，DF交BC于点H，CH＝2cm，EF＝5cm，则阴影部分的面积为（）
A．6cm2 B．8cm2 C．12cm2 D．16cm2
【分析】由平移的性质可知BC＝EF，BE＝AD＝2cm，∠ABC＝∠E＝90°，进而得出BH的长，根据S阴影＝S直角梯形BEFH，即可得出答案．
【解答】解：由平移的性质可知BC＝EF＝5cm，BE＝AD＝2cm，∠DEC＝∠B＝90°，S阴影＝S直角梯形BEFH，
∴BH＝BC﹣CH＝3cm，
∴S阴影＝S直角梯形BEFH
＝（3+5）×2×
＝8（cm2）．
故选：B．
【点评】本题主要考查了平移的性质，求阴影部分的面积等，将阴影部分的面积转化为规则图形面积是解题的关键．
2．平行线的判定定理和性质定理可以实现“角度的数量关系”与“直线的位置关系”之间的转化，请补全以下推理过程：
如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，点E在AB上，EF⊥BC于点F，过点D作直线DG交AC于点G，交EF的延长线于点H，∠B＝50°，∠1+∠2＝180°．求∠H的度数．
解：∵AD⊥BC，EF⊥BC，（已知）
∴AD∥EF．（在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行）
∴∠2+∠EAD＝180°．（两直线平行，同旁内角互补）
∵∠1+∠2＝180°，（已知）
∴∠1＝∠EAD．（同角的补角相等）
∴AE∥HG．（内错角相等，两直线平行）
∴∠B＝∠BDH．（两直线平行，内错角相等）
∵∠B＝50°，（已知）
∴∠BDH＝50°．（等量代换）
∵AD⊥BC，（已知）
∴∠ADB＝90°．（垂直的定义）
∵∠1+∠BDH+∠ADB＝180°，（平角定义）
∴∠1＝180°﹣∠BDH﹣∠ADB＝40°．（等式性质）
∵AD∥EF，（已证）
∴∠H＝∠1＝40°．（两直线平行，同位角相等）
【分析】先证明AD∥EF，得∠2+∠EAD＝180°，进而证明∠1＝∠EAD，得AE∥HG，则∠B＝∠BDH，再求出∠1＝40°，然后由平行线的性质即可得出结论．
【解答】解：∵AD⊥BC，EF⊥BC，（已知）
∴AD∥EF．（在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行）
∴∠2+∠EAD＝180°．（两直线平行，同旁内角互补）
∵∠1+∠2＝180°，（已知）
∴∠1＝∠EAD．（同角的补角相等）
∴AE∥HG．（内错角相等，两直线平行）
∴∠B＝∠BDH．（两直线平行，内错角相等）
∵∠B＝50°，（已知）
∴∠BDH＝50°．（等量代换）
∵AD⊥BC，（已知）
∴∠ADB＝90°．（垂直的定义）
∵∠1+∠BDH+∠ADB＝180°，（平角定义）
∴∠1＝180°﹣∠BDH﹣∠ADB＝40°．（等式性质）
∵AD∥EF，（已证）
∴∠H＝∠1＝40°．（两直线平行，同位角相等）
故答案为：在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行；两直线平行，同旁内角互补；EAD；内错角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等；垂直的定义；40，两直线平行，同位角相等．
【点评】本题考查了平行线的判定与性质以及补角的定义等知识，熟练掌握平行线的判定与性质是解题的关键．
3．【阅读理解】
如图①，已知点A是BC外一点，连接AB，AC，求∠BAC+∠B+∠C的度数．
（1）请将下面推理过程补充完整；
解：如图①，过点A作ED∥BC，
则∠B＝∠EAB，∠C＝∠DAC．
因为∠EAB+∠BAC+∠DAC＝180°，
所以∠B+∠BAC+∠C＝180°．
【解题反思】从上面的推理过程中，我们发现平行线具有“等角转化”的功能，将∠BAC，∠B，∠C“凑”在一起，得出角之间的关系，使问题得以解决．
【方法运用】
（2）如图②，已知AB∥ED，试说明：∠D+∠BCD﹣∠B＝180°．
【深化拓展】
（3）已知AB∥CD，点C在点D的右侧，∠ADC＝60°，BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，BE，DE交于点E，点E在AB与CD两条平行线之间．
①如图③，若点B在点A的左侧，∠ABC＝50°，求∠BED的度数．
②如图④，若点B在点A的右侧，∠ABC＝100°，直接写出∠BED的度数．
【分析】[阅读理解]（1）根据平行线的性质可得∠EAB＝∠B，∠DAC＝∠C，结合平角的性质即可求解；
[方法运用]（2）如图所示，过点C作CM∥AB，可得AB∥CM∥DE，根据平行线的性质可得∠ABC＝∠BCM，∠DCM+∠D＝180°，由此即可求解；
[深化拓展]（3）①如图所示，过点E作EN∥AB，可得AB∥EN∥CD，根据平行线的性质可得∠ABE＝∠BE