第八章实数单元重难点题型归纳与训练
题型归纳
题型归纳
题型讲解
题型讲解
一.利用平方根，算术平方根和立方根求算式中字母的值
【题型解读】此种题主要是根据平方根，算术平方根和立方根的定义，及其表达形式，求字母的取值，主要考查了方程思想.
例1．（23-24七年级下·全国·课后作业）若是的算术平方根，，则的立方根为．
【答案】
【分析】本题考查的是立方根及算术平方根的定义，掌握立方根及算术平方根的定义是解题的关键．根据题意列出关于、的方程，求出、的值，即可求解．
【详解】∵是的算术平方根，
∴，，
解得：，，
∴，，
∴的立方根为，
故答案为：．
例2．（24-25八年级上·江苏盐城·期末）已知的平方根为的立方根为4．
(1)求的值；
(2)求的平方根．
【答案】(1)，
(2)
【分析】本题考查了平方根以及立方根的计算，熟练掌握相关概念是解题的关键．
（1）根据平方根和立方根的定义得出关于、的方程求解，即可得出答案；
（2）将、的值代入，再求平方根即可．
【详解】（1）解：由题意得：，，
解得：，．
（2）解：由（1）得：，，
∴．
∴的平方根为．
对应练习：
1.（23-24八年级上·山东青岛·期中）已知的平方根是，的立方根为．
(1)求a与b的值；
(2)求的算术平方根．
【答案】(1)
(2)4
【分析】本题考查了已知字母的值求代数式的值，平方根、立方根、算术平方根，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）结合的平方根是，的立方根为，则，再解出，即可作答．
（2）把代入，得出，再求其的算术平方根，即可作答．
【详解】（1）解：∵的平方根是，的立方根为，
∴，
解得；
（2）解：由（1）得，
∴，
则的算术平方根是．
2.（24-25八年级上·江苏镇江·阶段练习）已知的平方根是，的立方根是2，求的平方根．
【答案】平方根为．
【分析】此题考查了算术平方根、平方根、立方根等知识，根据平方根和立方根的意义得到，，解得，，求出的值，根据平方根的意义求出答案即可．
【详解】解：∵的平方根是，的立方根是2，
∴，，
解得，，
∴，
∵，
∴的平方根为．
3．（24-25八年级上·陕西咸阳·期中）已知，的立方根是2．
(1)求的算术平方根；
(2)求的立方根．
【答案】(1)32
(2)
【分析】（1）根据平方根及立方根的定义求得，的值，然后将其代入中计算后，再根据算术平方根的定义即可求得答案；
（2）将，的值代入中计算后，再根据立方根的定义即可求得答案．
本题考查平方根，算术平方根及立方根，结合已知条件求得，的值是解题的关键．
【详解】（1）解：∵，的立方根是2
，，
解得：，，
则7a?3b=
（2）解：∵，，
∴，
∴，
则，
即的立方根为．
4.（23-24七年级下·四川·阶段练习）已知是的算术平方根，是的立方根，求的立方根．
【答案】
【分析】本题考查算术平方根、立方根，掌握算术平方根、立方根的性质是解题的关键．根据是的算术平方根，得到，求出a的值，根据是的立方根，得到，求出b的值，从而求出A，B，进而求出的值，即可求出结果．
【详解】解：是的算术平方根，
，
，
是的立方根，
，
又，
，
，，
，
．
【解法提炼】
根据平方根，算术平方根和立方根定义建立方程，解方程即可求得字母的取值
二.平方根和立方根性质问题
【题型解读】此种题型主要考查一个正数的两个平方根互为相反数和如果两个数互为相反数那么它们的立方根也互为相反数
例1．（23-24七年级上·山东烟台·期末）已知正数a的两个平方根分别是和，且与相等，求的算术平方根．
【答案】
【分析】本题主要考查了平方根和立方根，算术平方根，相反数的定义，解题的关键是熟练掌握平方根的定义和性质．
根据平方根的性质可得x的值，代入可得a的值；根据立方根的性质和相反数的性质即可求得b，然后代入求解即可．
【详解】解：因为正数a的两个平方根分别是和，
所以
所以
所以
因为与相等
所以
所以
所以．
所以的算术平方根是．
例2．（24-25七年级下·四川内江·阶段练习）如果和是一个非负数的平方根，那么这个非负数是．
答案：或/16或1
【分析】本题主要考查了平方根的定义，注意一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根．根据平方根的性质列出方程计算即可．
【详解】解：和是一个非负数的平方根，
，
解得：，
，
，
或，
解得：，
，
．
故答案为：或．
例3．（23-24七年级下·全国·假期作业）已知与互为相反数，求的立方根．
【答案】2
【详解】解：由题意，得，
的立方根是2．
对应练习：
1.（23-24七年级下·重庆长寿·期末）若实数的平方根是和，的立方根是，求的算术平方根．
【答案】8
【分析】本题考查平方根