总结评述：(1)上面四个思路的共同点是：由两条异面直线中的一条与另一条上一个点确定一个平面，在该平面内过该点作该直线的平行线，从而找出两条异面直线所成的角，这是立体几何“化异为共”“降维”的基本思想．第27页，共42页，星期日，2025年，2月5日(2)求两条异面直线所成角的关键是作出这两条异面直线所成的角，作两条异面直线所成的角的方法是：将其中一条平移到某个位置使其与另一条相交或是将两条异面直线同时平移到某个位置使它们相交，然后在同一平面内求相交直线所成的角．值得注意的是：平移后相交所得的角必须容易算出，因此平移时要求选择恰当位置．一般提倡像思路2、思路3那样作角，因为此角在几何体内部，易求．第28页，共42页，星期日，2025年，2月5日(3)找出异面直线所成的角后求角的大小．一般要归到一个三角形中，通过解三角形求出角的大小，如本题思路1中可归结为解△DEM.思路2中可归结为解△DEN等等，由于本例中三角形是斜三角形，待我们学过解斜三角形后，即可计算．(4)实际问题中，若含有“中点”“比例点”常利用中位线，比例线段进行平移．第29页，共42页，星期日，2025年，2月5日10．A为正三角形BCD所在平面外一点，且AB=AC=AD=BC=a，E、F分别是棱AD、BC的中点，连结AF、CE，如图所示，求异面直线AF、CE所成角的余弦值。ABCDEFG解：连结DF，取DF的中点G，连结EG，CG，又E是AD的中点，故EG//AF，所以∠GEC（或其补角）是异面直线AF、CE所成的角。∴异面直线AF、CE所成角的余弦值是第30页，共42页，星期日，2025年，2月5日第1页，共42页，星期日，2025年，2月5日问题一：异面直线的判定第2页，共42页，星期日，2025年，2月5日例1.已知m、n为异面直线，m?平面α，n?平面β，α∩β＝l，则l()A．与m、n都相交B．与m、n中至少一条相交C．与m、n都不相交D．与m、n中的一条直线相交第3页，共42页，星期日，2025年，2月5日例2.已知点P、Q、R、S分别是正方体的四条棱的中点，则直线PQ与RS是异面直线的一个图是 ()第4页，共42页，星期日，2025年，2月5日例3．如图，已知α∩β＝a，b?α，c?β，b∩a＝A，c∥a，求证：b与c是异面直线．第5页，共42页，星期日，2025年，2月5日[证明]假设b与c不是异面直线，则b∥c或b与c相交．(1)若b∥c，∵a∥c，∴a∥b与a∩b＝A矛盾．(2)若b与c相交，设b∩c＝B，∵a∥c，∴B?a，即A、B两点不重合，这样直线b上有两点A、B∈β，∴b?β，又b?α，∴b是α与β的公共直线，又α∩β＝a，∴b与a重合，这与b∩a＝A矛盾，∴b与c是异面直线．第6页，共42页，星期日，2025年，2月5日异面直线的证明:(1)反证法，假设两直线共面，随后导出矛盾，故两直线异面．(2)过平面外一点与平面内一点的直线和平面内不过该点的直线是异面直线(异面直线判定定理)．第7页，共42页，星期日，2025年，2月5日问题二：求异面直线所成的角第8页，共42页，星期日，2025年，2月5日预备知识角的知识正弦定理a=2RsinAa=2RsinAS?ABC=bcsinA余弦定理ABCbcacosA=ABCbca第9页，共42页，星期日，2025年，2月5日二、数学思想、方法、步骤：解决空间角的问题涉及的数学思想主要是化归与转化，即把空间的角转化为平面的角，进而转化为三角形的内角，然后通过解三角形求得。2.方法：3.步骤：求异面直线所成的角：①作（找）②证③点④算1.数学思想：平移构造可解三角形第10页，共42页，星期日，2025年，2月5日例4.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,棱长为4(1)求直线BA1和CC1所成的角的大小(2)若M，N分别为棱A1B1和B1B的中点，求直线AM与CN所成的角的余弦值.A1B1C1D1ABCDMNPQBQ=1BN=2QN=QC=NC=Cos∠QNC=第11页，共42页，星期日，2025年，2月5日例5、在正方体ABCD-A’B’C’D’中，棱长为a，E、F分别是棱A’B’，B’C’的中点，求：①异面直线AD与EF所成角的大小；②异面直线B’C与EF所成角的大小；③异面直线B’D与EF所成角的大小.第12页，共42页，星期日，2025年，2月5日②异面直线B’C与