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4角平分线
第2课时三角形三个内角的角平分线
【学习目标】
1．证明三角形三个内角的平分线的性质定理；
2.综合运用角平分线的判定和性质定理，解决几何中的问题
【学习策略】
采用“实验——猜想——验证”的课堂教学方法，适时启发诱导，让学生展开讨论，充分发挥学生的主体参与意识，激发学习兴趣，调动学习的积极性，培养学生良好的思维方法与习惯．
【学习过程】
一、知识回顾：
三角形角平分线性质定理和判定定理的内容是什么？
1、角平分线的性质定理：
2、角平分线的判定定理：
二.新课学习：
作三角形的三个内角的角平分线，你发现三条角平分线位置有什么关系？你能证明证明这个结论吗？
已知：
求证：
证明：
A
A
B
C
（本题基本思路提示）：两条直线相交只有一个交点.要想证明三条直线相交于一点,只要能证明两条直线的交点在第三条直线上即可.
（2）问题：在上面的证明过程中除了证明三角形的三条角平分线相交于一点外，还发现这个点到三边的距离关系怎样？
归纳：定理:
证明此定理.
已知：（自己动手作出图形）
求证：
证明：
证明：在一个角的内部，且到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上。
三.尝试应用：
1、已知：如图，设△ABC的角平分线BM、CN相交于点P，
求证：P点在∠BAC的角平分线上。
2、已知：OP是∠MON内的一条射线，AC⊥OM,AD⊥ON,BE⊥OM,BF⊥ON,垂足分别为C、D、E、F，且AC=AD
求证：BE=BF.
四、课堂小结
三角形三条角平分线交于一点，且这一点到三角形各边的距离相等．
五．达标测试
一．选择题（共1小题）
1.一到三角形三边距离相等的点是（）
A.三条中线的交点B.三条高的交点C.三条角平分线的交点D.不能确定
二．填空题（共3小题）
2．在△ABC中，∠C=900,∠A的平分线交BC于D,BC=21cm,BD:DC=4:3,则D到AB的距离为.
3．如图，点P为△ABC三条角平分线交点，PD⊥AB，PE⊥BC，PF⊥AC，则PDPEPF．
三．解答题（共3小题）
4．如图，∠C＝90°，∠B＝30°，AD是Rt△ABC的角平分线.求证：BD＝2CD.
5.如图，P是∠AOB平分线上的一点，PC⊥OA，PD⊥OB，垂足分别为C，D.求证：
（1）OC＝OD；
（2）OP是CD的垂直平分线.
[
6.如图，CE⊥AB于点E，BD⊥AC于点D，BD、CE交于点O，且BO=CO．求证：O在∠BAC的角平分线上．
参考答案
达标测试答案：
一．选择题（共1小题）
1．C．
二．填空题（共2小题）
2．9cm
3．【解析】：∵点P为△ABC三条角平分线交点，PD⊥AB，PE⊥BC，∴PD=PE，同理可得PD=PF，∴PD=PE=PF．答案：=，=．
三．解析题（共3小题）
4.证明：∵∠C=90°,∠B=30°，
∴∠BAC=60°，
又∵AD是Rt△ABC的角平分线,
∴∠B?=∠BAD=∠DAC=30°，?
即BD=AD,CD=1/2AD（直角三角形中30°角所对直角边为斜边的一半），
∴BD=2CD.
5．证明：（1）∵P是∠AOB平分线上的一点,PC⊥OA,PD⊥OB，
∴∠POC=∠POD，
∵PO=PO，∴△PCO≌△PDO(AAS)，
∴OC=OD，∠CPO=∠DPO，PC=PD；
(2)∵∠CPO=∠DPO，PC=PD，
∴△PCD是等腰三角形，
∴PO⊥CD,PO平分CD（等腰三角形三线合一），
∴OP是CD的垂直平分线.
6．证明：∵CE相交BD于O，
∴∠BOE=∠COD，
又∵BD⊥AC,CE⊥AB，∴∠B=∠C，
∵BO=CO，∴△COD≌△BOE，
∴DO=EO，
依题BD⊥AC,CE⊥AB，
由角平分线定理的逆定理得O在∠BAC的角平分线上.