相似三角形中常考模型压轴题
1．如图，四边形中，，，、相交于点，，垂足为点，连接交于点，连接．
(1)求证：；
(2)求的值；
(3)求证：．
2．如图，在矩形中，点在边上，连接，交对角线于点，且．
(1)若，求的度数；
(2)若，，求的长；
(3)若，求的值．
3．（1）如图1，在中，E是上一点，过点E作的平行线交于点F，点D是上任意一点，连接交于点G，求证：；
（2）如图2，在（1）的条件下，连接，，若，且，恰好将三等分，求的值．
4．几何探究是培养几何直观、推理能力和创新意识的重要途径．解决几何综合探究问题，往往需要运用从特殊到一般、化静为动、类比等数学思想方法．
【初步探究】
（1）如图1，将绕点逆时针旋转得到，连接，．
①的度数为______；
②若，则的长为______；
【拓展延伸】
（2）如图2，在四边形中，，，，为对角线，且满足，若，，请求出的长．
5．【操作判断】
如图1，为两条互相垂直的射线，为的平分线上任意一点，过点作，分别交射线于点．此时在的两侧，试探究之间的数量关系．
以下是小明简略的解题过程，请根据要求作答．
解：，理由如下：
过点作于点于点，则四边形为矩形．
平分，．①
，．
，②．…
（1）①的依据是______，②中所填的关系表达式为______；
【迁移探究】
（2）如图2，若过点作的两条垂线在的同侧．题中的结论是否发生变化？如果结论不变，请说明理由；如果变化，请写出新结论并给出证明；
【拓展应用】
（3）如图3，若为内部一点，且，请直接写出与之间的数量关系（结果用含的式子表示）．
6．如图1，在四边形中，，．
(1)用等式写出和的数量关系是______；
(2)如图2，连接，．求证：平分；
(3)当，时，点是上一点，将绕点逆时针旋转得到．
①如图3，当点恰好在上时，判断并说明四边形的形状；
②如图4，当交于点时，若，，求的值．
7．在平行四边形中，点，分别在边，上．
【尝试初探】（1）如图1，若平行四边形是正方形，为的中点，，求的值；
【深入探究】（2）如图2，，，，求的值；
【拓展延伸】（3）如图3，与交于点，，，，求的值．
8．如图，在中，，，，点E是边上一点（且点E不与点B、C重合），连结．过点C作，交边于点D，交线段于点F．
(1)边的长为____；
(2)当时，求的长；
(3)当时，求的值；
(4)连结，当四边形为轴对称图形时，直接写出的长．
9．在梯形中，，点在边上，且．
(1)如图1所示，点在边上，且，连接，求证：；
(2)已知．
①如图2所示，如果点在边上，且，连接、、，与交于．求的值；
②如图3所示，连接，如果外接圆的圆心恰好落在的平分线上，求的外接圆的半径长．
10．【问题背景】
已知、分别是△的边和边上的点，且，则△△，把△绕着逆时针方向旋转，连接和．
①如图2，找出图中的另外一组相似三角形；
②若，，，则；
【迁移应用】
如图3，在△和△中，，，，，点是线段上一动点，连接．
①请求出的值及的度数，并说明理由．
②如图4，点是的中点，在点从点运动到点的过程中，请直接写出点经过的路径长．
【创新应用】
如图，，△是直角三角形，，，将△绕着点旋转，连接，是上一点，，连接，求的取值范围．
参考答案
1．(1)证明见解析
(2)
(3)证明见解析
（1）如图，过点作于点，证明四边形是矩形，得，进一步证明垂直平分，即可得证；
（2）证明得，推出，证明，由相似三角形的性质可得结论；
（3）证明得，设，则，得，进一步推出，得，推出，得，再推出，即可得证．
（1）证明：如图，过点作于点，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，
∵，
∴，即点是的中点，
∴垂直平分，
∴；
（2）解：∵，，
∴，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
（3）证明：由（2）知，，，
∴，，
∴，
∴，
设，则，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
本题考查矩形的判定和性质，垂直平分线的性质，相似三角形的判定和性质，平行线分线段成比例定理，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，等边对等角，平行线的判定和性质等知识点．掌握相似三角形的判定和性质，平行线分线段成比例定理是解题的关键．
2．(1)
(2)的长为
(3)
（1）如图，连接，交对角线于点，根据矩形的性质得到，，则，由等边对等角得到，由三角形外角的性质得到，根据直角三角形两锐角互余即可求解；
（2）根据矩形的性质得到，，则，设，则，，所以，由此列式求解即可；
（3）设，，由矩形的性质，结合题意得到，，，在中，由勾股定理得，在中，由勾股定理得，整理得，所以，即，由（2）知，可得，由此即可求解．
（1）解：如图，连接，交对角线于点，
∵四边形是矩形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴