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相似三角形中常考模型压轴题预测练-2025年中考数学三轮复习备考
1．在中，，．点是内一点．连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，，．
（1）观察猜想，如图1，当时，求的值．
（2）类比探究，如图2，当时，求的值．
（3）解决问题，如图3，当时，若点在的平分线上，请直接写出点，，在同一直线上时与的值．
2．在矩形中，点是对角线、的交点，直角的顶点与重合，、分别与、边相交于、，连接，（为常数）．
（1）发现问题：如图1，若，猜想：________；
（2）类比探究：如图2，，探究线段，之间的数量关系，并说明理由；
（3）拓展运用：如图3，在（2）的条件下，若，，，求的长．
3．综合与实践
【问题背景】
如图1，矩形中，．点E为边上一点，沿直线将矩形折叠，使点C落在边的点处．
【问题解决】
（1）填空：的长为______．
（2）如图2，将沿线段向右平移，使点与点B重合，得到与交于点F，与交于点G．求的长；
【拓展探究】
（3）在图2中，连接，则四边形是平行四边形吗？若是，请予以证明；若不是，请说明理由．
4．已知：四边形ABCD中，对角线的交点为O，E是OC上的一点，过点A作于点G，AG、BD交于点F．
（1）如图1，若四边形ABCD是正方形，求证：；
（2）如图2，若四边形ABCD是菱形，．探究线段OE与OF的数量关系，并说明理由；
（3）图1中延长BE交CD于点M，过点C作于N，连接ON得图3，若，正方形ABCD的边长为6，则ON的长为．
5．如图1，在中，．
（1）求边的长．
（2）边的中点，过点作交边于点，将绕点顺时针旋转，得到对应的三角形，连接与交于．
①求证：．
②当时，求的长；
③在旋转的过程中，的面积是否存在最大值．若存在，请直接写出最大面积，若不存在，请说明理由．
6．（1）问题发现：如图1，△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，AB=AC，四边形ADEF是正方形，点B、C分别在AD、AF上，此时BD与CF的数量关系是_________，位置关系是__________；
（2）拓展探究：如图2，当△ABC绕点A逆时针旋转θ（0°＜θ＜90°）时，BD=CF成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．
（3）解决问题：当△ABC绕点A逆时针旋转45°时，如图3，延长BD交CF于点H．已知AB=2，AD=，求线段DH的长．
7．如图，在正方形中，对角线与相交于点，点是上的一个动点，连接，交于点．
（1）如图①，当时，求的值：
（2）如图②，当平分时，，求正方形的边长；
（3）如图③，当点是的中点时，过点作于点，求证：．
8．定义：若一个四边形能被其中一条对角线分割成两个相似三角形，则称这个四边形为“友爱四边形”，这条对角线叫“友爱线”．
（1）如图1，在的正方形网格中，有一个网格和两个网格四边形与四边形，其中是被分割成的“友爱四边形”的是______．
（2）如图2，四边形是“友爱四边形”，对角线是“友爱线”，同时也是的角平分线，若中，，，，求友爱四边形的周长．
（3）如图3，在中，，，的面积为，点D是的平分线上一点，连接，．若四边形是被分割成的“友爱四边形”，求的长．
9．如图，在矩形中，．E为边上的一个动点，以为边作正方形与交于点H，的延长线交于点M，连结．
??
（1）当时，求的长（用含a的代数式表示）；
（2）试证是一个定值；
（3）求的取值范围．
10．在梯形ABCD中，AB∥CD，∠BCD＝90°，且AB＝1，BC＝2，tan∠ADC＝2．对角线AC和BD相交于点O，等腰直角三角板的直角顶点落在梯形的顶点C上，使三角板绕点C旋转．
（1）如图1，当三角板旋转到点E落在BC边上时，线段DE与BF的位置关系是，数量关系是；
（2）继续旋转三角板，旋转角为α．请你在图2中画出图形，并判断（1）中结论还成立吗？如果成立请加以证明；如果不成立，请说明理由；
（3）如图3，当三角板的一边CF与梯形对角线AC重合时，EF与CD相交于点P，若，求PE的长．
11．矩形的两边在坐标轴上，，，抛物线过点，两点，且与轴交于点、（-2，0），点为线段上一动点，轴交于点，交抛物线于点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)令，当时，求出的取值范围；
(3)连接，，，当直线将的面积分成两部分时，求点的坐标．
12．已知四边形中，，分别是，边上的点，与交于点，令．
特例解析：如图1，若四边形是矩形，且，求证：；
类比探究：如图2，若四边形是平行四边形，当与满足什么关系时，仍然成立？并证明你的结论；
拓展延伸：如图3，在（2）的条件下，若，，，，求的长．
13．如图