一线三等角模型2025年青海中考数学复习专训---专项

一阶认识模型模型分析1.模型特点：(1)∠1，∠2，∠3的顶点在一条直线上；(2)∠1，∠2，∠3之间的关系是.2.解题思路：利用三角形内角和定理、内外角关系与平角倒角得出相等角.3.模型结论：(1)△APC∽△BDP；(2)若在(1)的条件下，增加条件，可以得到△APC≌△BDP.∠1＝∠2＝∠3CP＝PD(答案不唯一)

例1如图，C为BE上一点，AB⊥BE，DE⊥BE，AC⊥CD.(1)求证：△ABC∽△CED；(1)证明：∵AB⊥BE，DE⊥BE，AC⊥CD，∴∠B＝∠E＝∠ACD＝90°，∴∠BAC＋∠ACB＝90°，∠ACB＋∠DCE＝90°，∴∠BAC＝∠ECD，∴△ABC∽△CED；

(2)添加一个条件，求证：△ABC≌△CED.AB⊥BE，DE⊥BE，AC⊥CD?

例2(人教八上习题改编)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AD⊥CE，BE⊥CE.(1)求证：△BCE∽△CAD；(1)证明：∵AD⊥CE，BE⊥CE，∴∠E＝∠ADC＝∠ACB＝90°，∴∠ACD＋∠CAD＝90°，∴∠ACD＋∠BCE＝90°，∴∠CAD＝∠BCE，∴△BCE∽△CAD；

(2)添加一个条件，求证：△BCE≌△CAD.在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AD⊥CE，BE⊥CE.?

例3如图，在等腰直角△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D，E分别在边BC，AC上，连接AD，DE，且∠ADE＝45°.(1)求证：△BDA∽△CED；(1)证明：∵△ABC是等腰直角三角形，∠BAC＝90°，AB＝AC，∴∠B＝∠C＝45°，∵∠ADE＝45°，∴∠ADE＝∠B，∵∠BAD＋∠ADB＝180°－∠B，∠ADB＋∠CDE＝180°－∠ADE，∴∠BAD＝∠CDE，∴△BDA∽△CED；

(2)添加一个条件，求证：△BDA≌△CED.在等腰直角△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，∠ADE＝45°.?

二阶构造模型方法总结条件：如图，△AOB是等腰直角三角形，直角顶点O在直线MN上.?辅助线作法：分别过A，B两点作AC⊥MN，BD⊥MN.结论：△AOC≌△OBD.若AO≠OB，则△AOC∽△OBD.

例4(人教八下习题改编)如图，已知正方形ABCD的边长为6，E是边CD的中点，且EF⊥AE，EF＝AE，连接CF，则CF的长为.?

例5如图，△ABC和△CDE均是等腰三角形，点C在AE上，且AB＝BC＝5，CD＝DE＝8，若AC＝6，BC⊥CD，则CE的长为.?

三阶综合应用?2

2.如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，点E是BC上一点，且∠AED＝∠B，AE＝2DE.(1)求证：BE＝2CD；(1)证明：如图，在EC上取一点F，使得DF＝CD，∴∠DFC＝∠C.∵AB∥CD，∴∠B＋∠C＝180°.∵∠DFC＋∠DFE＝180°，∴∠B＝∠DFE.∵∠AEF是△ABE的一个外角，∴∠AEF＝∠B＋∠BAE.F

?F

(2)若AB＝8，CD＝2，DE＝5，求AD的长.在四边形ABCD中，AB∥CD，且∠AED＝∠B，AE＝2DE.?

谢谢