北京市通州区2023届高三模拟考试数学
（考试时间：90分钟，满分：100分）
一、选择题（每题3分，共15题）
1.若复数$z=3+4i$，则$z^2$的值为（）
A.$7+24i$B.$724i$C.$7+24i$D.$724i$
2.已知函数$f(x)=ax^2+bx+c$，若$f(1)=3,f(1)=5,f(2)=10$，则$a+b+c$的值为（）
A.7B.8C.9D.10
3.在等差数列$\{a_n\}$中，若$a_1=2,d=3$，则$a_{10}$的值为（）
A.29B.30C.31D.32
（此处省略12题）
二、填空题（每题3分，共5题）
1.若$\log_28=a$，则$a$的值为________。
2.已知直角三角形两条直角边的长度分别为3和4，则其斜边长度的平方为________。
3.若函数$f(x)=x^33x^2+2$，则$f(x)$的零点个数为________。
（此处省略2题）
三、解答题（每题10分，共3题）
1.已知函数$f(x)=x^22x3$，求$f(x)$的零点及对应的函数值。
2.在等差数列$\{a_n\}$中，若$a_1=3,d=4$，求$a_{10}$的值。
3.解不等式组：$\begin{cases}2x3y6\\x+y4\end{cases}$，并表示其解集在平面直角坐标系中的区域。
四、应用题（每题15分，共2题）
1.某超市销售一种商品，进价为20元，售价为30元。每月销售量为1000件。若售价每提高1元，销售量减少20件。求该商品的最大利润及对应的售价。
2.已知函数$f(x)=x^33x^2+2$，求$f(x)$在区间$[1,2]$上的最大值和最小值。
五、探究题（每题20分，共2题）
1.已知数列$\{a_n\}$满足$a_1=1,a_{n+1}=2a_n+1$，求证：$a_n=2^n1$。
2.已知函数$f(x)=ax^2+bx+c$，若$f(1)=3,f(1)=5,f(2)=10$，求$f(x)$的表达式。
八、计算题（每题5分，共4题）
1.计算sin60°cos30°的值。
2.已知log232a，log216b，计算ab的值。
3.若函数f(x)x33x22，计算f(1)f(1)的值。
4.在等差数列an中，若a12,d3，计算a4a7的值。
九、证明题（每题10分，共2题）
1.已知ab为正数，且a2b，求证：a24b2。
2.已知函数f(x)x22x3，求证：f(x)的零点为x1和x3。
十、几何题（每题10分，共3题）
1.已知直角三角形两条直角边的长度分别为3和4，求其斜边长度的平方。
2.已知圆的半径为5，求其直径的长度。
3.已知矩形的长为8，宽为4，求其面积。
十一、概率题（每题10分，共2题）
1.一个袋子里有5个红球，3个蓝球，求从中随机取出一个球是红球的概率。
2.抛掷两个骰子，求两个骰子的点数之和为7的概率。
十二、数列题（每题10分，共3题）
1.在等差数列an中，若a13,d4，求a10的值。
2.在等比数列bn中，若b12,q3，求b6的值。
3.已知数列an满足a11,an12an1，求an的表达式。
十三、函数题（每题10分，共3题）
1.已知函数f(x)x22x3，求f(x)的零点及对应的函数值。
2.已知函数f(x)ax2bxc，若f(1)3,f(1)5,f(2)10，求f(x)的表达式。
3.已知函数f(x)x33x22，求f(x)在区间[1,2]上的最大值和最小值。
十四、方程题（每题10分，共3题）
1.解方程：2x23x50。
2.解方程组：begincasesxy=4xy=2endcases。
3.解不等式组：begincasesx+y5xy3endcases，并表示其解集在平面直角坐标系中的区域。
十五、实际应用题（每题15分，共2题）
1.某超市销售一种商品，进价为20元，售价为30元。每月销售量为1000件。若售价每提高1元，销售量减少20件。求该商品的最大利润及对应的售价。
2.已知函数f(x)x33x22，求f(x)在区间[1,2]上的最大值和最小值。
一、选择题
1.A
2.C
3.