北京市2023届高三高考模拟预测考试数学
（考试时间：90分钟，满分：100分）
一、选择题（每题3分，共15题，45分）
1.若复数$z=a+bi$满足$z^2=43i$，则$a+b=$____。
2.已知函数$f(x)=\ln(x^21)2\ln(x1)$，则$f(2)=$____。
3.在等差数列$\{a_n\}$中，若$a_1=3$，$a_4=9$，则公差$d=$____。
4.若向量$\vec{a}=(1,2)$，$\vec{b}=(2,1)$，则$\vec{a}\cdot\vec{b}=$____。
5.若椭圆$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{9}=1$的焦点在$x$轴上，则其长轴长度为____。
6.若函数$y=2x^23x+2$的图像开口向上，则其顶点坐标为____。
7.在直角坐标系中，点$(1,2)$到直线$3x+4y5=0$的距离为____。
8.若$\sin\theta+\cos\theta=\frac{\sqrt{2}}{2}$，则$\sin\theta\cos\theta=$____。
9.若函数$f(x)=|x1|+|x+2|$，则$f(3)=$____。
10.若二次方程$x^22x+1=0$的解为$x_1$和$x_2$，则$x_1+x_2=$____。
11.若函数$f(x)=\frac{1}{x1}$的定义域为$x1$，则$f(x)=$____。
12.若等比数列$\{a_n\}$中，$a_1=2$，公比$q=3$，则$a_5=$____。
13.若矩阵$A=\begin{pmatrix}12\\34\end{pmatrix}$，则$A^2=$____。
14.若函数$f(x)=\ln(x^2)$，则$f(e)=$____。
15.若函数$y=x^33x^2+2x$的图像与$x$轴交于点$(1,0)$，则另一个交点的横坐标为____。
二、填空题（每题3分，共5题，15分）
16.若函数$f(x)=\frac{x^21}{x1}$，则$f(2)=$____。
17.若向量$\vec{a}=(1,2)$，$\vec{b}=(2,1)$，则$\vec{a}\times\vec{b}=$____。
18.若椭圆$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{9}=1$的焦点在$y$轴上，则其短轴长度为____。
19.若函数$y=2x^23x+2$的图像开口向下，则其顶点坐标为____。
20.在直角坐标系中，点$(1,2)$到直线$3x+4y5=0$的距离为____。
三、解答题（每题10分，共5题，50分）
21.已知函数$f(x)=\ln(x^21)2\ln(x1)$，求$f(x)$。
22.在等差数列$\{a_n\}$中，若$a_1=3$，$a_4=9$，求公差$d$和通项公式$a_n$。
23.若向量$\vec{a}=(1,2)$，$\vec{b}=(2,1)$，求$\vec{a}\cdot\vec{b}$和$\vec{a}\times\vec{b}$。
24.若椭圆$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{9}=1$的焦点在$x$轴上，求其长轴和短轴长度。
25.若函数$y=2x^23x+2$的图像开口向上，求其顶点坐标和对称轴方程。
四、计算题（每题5分，共5题，25分）
26.已知函数f(x)fracx21x1，求f(x)和f(2)。
27.若向量veca(1,2)，vecb(2,1)，求vecacdotvecb和vecatimesvecb。
28.若椭圆fracx24fracy291的焦点在y轴上，求其长轴和短轴长度。
29.若函数y2x23x2的图像开口向下，求其顶点坐标和对称轴方程。
30.在直角坐标系中，点(1,2)到直线3x4y50的距离为。
五、证明题（每题10分，共3题，30分）
31.证明：若函数f(x)ln(x21)2ln(x1)，则f(x)frac2x2x。
32.证明：在等差数列an中，若a13，a49，则公差dfrac16。
33.证明：若二次方程x22x10的解为x1和x2，则x1x210。
六、应用题（每题10分，共2题，20分）
34.已知函数f(x)x1x2，求f(3)和f(2)。
35.若二次方程x22x10的解为x1和x2，求x1x2和x1+x2。
七、探究题（每题15分，共1题，15分）
36.探究：若函数f(x)frac1x1的定义域为x1，求f(x)和f(2)。
八、综合题（每题20分，共1题，20分）
37.综合题：已知矩阵Abeginpmatrix1234endpmatrix，求A2和A的逆矩阵A1。