专题05分段函数
真题再现
1．（2023·北京·统考高考真题）设，函数，给出下列四个结论：
①在区间上单调递减；
②当时，存在最大值；
③设，则；
④设．若存在最小值，则a的取值范围是．
其中所有正确结论的序号是____________．
【解析】依题意，，
当时，，易知其图像为一条端点取不到值的单调递增的射线；
当时，，易知其图像是，圆心为，半径为的圆在轴上方的图像（即半圆）；
当时，，易知其图像是一条端点取不到值的单调递减的曲线；
对于①，取，则的图像如下，
??
显然，当，即时，在上单调递增，故①错误；
对于②，当时，
当时，；
当时，显然取得最大值；
当时，，
综上：取得最大值，故②正确；
对于③，结合图像，易知在，且接近于处，的距离最小，
??
当时，，当且接近于处，，
此时，，故③正确；
对于④，取，则的图像如下，
??
因为，
结合图像可知，要使取得最小值，则点在上，点在，
同时的最小值为点到的距离减去半圆的半径，
此时，因为的斜率为，则，故直线的方程为，
联立，解得，则，
显然在上，满足取得最小值，
即也满足存在最小值，故的取值范围不仅仅是，故④错误.
故答案为：②③.
2．（2022·浙江·统考高考真题）已知函数则________；若当时，，则的最大值是_________．
【解析】由已知，，所以，
当时，由可得，所以，
当时，由可得，所以，
等价于，所以，所以的最大值为.
故答案为：，.
3．（2022·北京·统考高考真题）设函数若存在最小值，则a的一个取值为________；a的最大值为___________．
【解析】若时，，∴；
若时，当时，单调递增，当时，，故没有最小值，不符合题目要求；
若时，当时，单调递减，，
当时，
∴或，解得，
综上可得；故答案为：0（答案不唯一），1
4．（2021·浙江·统考高考真题）已知，函数若，则___________.
【解析】，故，故答案为：2.
考点一分段函数函数值(解析式)
一、单选题
1．已知函数，则（????）
A．5B．3 C．2 D．1
【解析】因为，所以，所以.故选：B
2．已知函数，则（????）
A． B．1 C．-1 D．2
【解析】由条件可得，则.故选：C.
3．已知函数，则（????）
A．4 B．8 C．16 D．32
【解析】，故选：C．
4．已知函数，若，则（）.
A．1 B．2 C．3 D．4
【解析】由函数，可作图如下：
??
由方程，则，即，解得.
.故选：B.
5．已知函数，则的值为（????）
A． B． C． D．
【解析】当时，由①，得②，
①②联立，可得,得③
把①代入③可得，即，
故，故选：C.
6．已知函数，则（????）
A．4 B．5 C．6 D．7
【解析】由题意可得，
故选：D.
7．已知函数，则（????）
A．1 B．e C． D．
【解析】因为，所以，因为，
所以.故选：D
8．若函数，则（????）
A． B． C． D．
【解析】由于，所以，故，
故选C.
二、多选题
9．函数f(x)的图象如图所示，则f(x)的解析式是（????）
A． B．
C． D．
【解析】结合图象可知，当x≤0时，设，将代入函数，
得，，同理，当x0时，，
所以，即.故选：AC
三、填空题
10．已知函数，则___________．
【解析】由，可得，故
11．已知函数，则___________．
【解析】因为，且，
则.
12．已知函数，则_________．
【解析】，
所以
13．设函数，且，，则的解析式为____________．
【解析】因为函数解析式为，则，则，
由可得，，解得，所以.
14．设定义在上且，则______．
【解析】因为，
所以，
，同理可得.
考点二分段函数定义域和值域
一、单选题
1．设函数，则的值域是（????）
A． B．
C． D．
【解析】当,即，时,或,
,因为，所以，
因此这个区间的值域为.
当时,即，得,
其最小值为，其最大值为，因此这区间的值域为.
综上，函数值域为:.故选：D
2．若定义运算，则函数的值域是（????）
A． B． C． D．
【解析】若，即时；
若，即时；综上，值域为.故选：A
二、多选题
3．已知函数，关于函数的结论正确的是（????）
A．的定义域是R B．的值域是
C．若，则x的值为 D．
【解析】A：函数的定义域为，所以本选项