北京市通州区2023届高三模拟考试数学
（考试时间：90分钟，满分：100分）
一、选择题（每题3分，共15题，45分）
1.若复数$z=a+bi$满足$z^2=43i$，则$a+b=$____。
2.已知函数$f(x)=\ln(x^21)2\ln(x1)$，则其定义域为____。
3.在等差数列$\{a_n\}$中，若$a_1=3$，$a_4=9$，则公差$d=$____。
4.若向量$\vec{a}=(1,2)$，$\vec{b}=(2,1)$，则$\vec{a}\cdot\vec{b}=$____。
5.已知函数$y=x^22x+3$的图像，则其顶点坐标为____。
6.若方程$x^2+2ax+3=0$有两个实根，则实数$a$的取值范围是____。
7.在直角坐标系中，点$P(1,2)$到直线$y=x+1$的距离为____。
8.若函数$f(x)=\sin(x)\cos(x)$，则$f(\frac{\pi}{4})=$____。
9.已知三角形$ABC$的三边长分别为$3,4,5$，则其外接圆半径为____。
10.若方程$\log_2(x+1)+\log_2(x1)=3$的解为$x=a$，则$a^2=$____。
11.在等比数列$\{b_n\}$中，若$b_1=2$，$b_3=16$，则公比$q=$____。
12.若函数$y=2x^24x+3$的图像开口方向为____，顶点坐标为____。
13.已知点$A(2,3)$，点$B(4,1)$，则线段$AB$的中点坐标为____。
14.若方程$2x^23x+1=0$的解为$x=a$，则$a^2+$____。
15.在直角坐标系中，点$P(2,3)$到原点$O(0,0)$的距离为____。
二、填空题（每题3分，共5题，15分）
16.已知函数$f(x)=\ln(x^24x+3)$，则其定义域为____。
17.在等差数列$\{a_n\}$中，若$a_1=2$，$d=3$，则$a_5=$____。
18.若向量$\vec{a}=(1,2)$，$\vec{b}=(2,1)$，则$\vec{a}\times\vec{b}=$____。
19.已知函数$y=x^22x+3$的图像，则其对称轴方程为____。
20.若方程$x^2+2ax+3=0$有两个相等的实根，则实数$a$的值为____。
三、解答题（每题10分，共5题，50分）
21.已知函数$f(x)=\ln(x^21)2\ln(x1)$，求其定义域和值域。
22.在等差数列$\{a_n\}$中，若$a_1=3$，$a_4=9$，求公差$d$和通项公式$a_n$。
23.已知函数$y=x^22x+3$的图像，求其顶点坐标和对称轴方程。
24.若方程$x^2+2ax+3=0$有两个实根，求实数$a$的取值范围。
25.在直角坐标系中，点$P(1,2)$到直线$y=x+1$的距离为____。
8.计算题（每题5分，共5题，25分）
26.计算sin(fracpi6)cos(fracpi3)的值。
27.已知三角形ABC的三边长分别为3,4,5，求其面积。
28.若方程log2(x1)log2(x1)3的解为xa，求a的值。
29.在等比数列bn中，若b12，b316，求公比q和通项公式bn。
30.已知函数y2x24x3的图像，求其顶点坐标和对称轴方程。
9.证明题（每题10分，共2题，20分）
31.证明等差数列an中，若a1a2a3，则a1+a3=2a2。
32.证明等比数列bn中，若b1b2b3，则b1b3=b22。
10.应用题（每题10分，共3题，30分）
33.某工厂生产一种产品，每件产品的成本为200元，售价为300元。若该工厂每月固定成本为10000元，求该工厂每月至少销售多少件产品才能盈利。
34.某商场进行促销活动，顾客购买商品满100元可享受8折优惠。若顾客购买了一件原价为150元的商品，求顾客实际支付金额。
35.某班级有50名学生，其中男生30名，女生20名。若随机选择5名学生参加比赛，求至少选择3名女生的概率。
11.函数题（每题5分，共5题，25分）
36.已知函数f(x)sin(x)cos(x)，求f(fracpi4)的值。
37.已知函数g(x)2x23x，求g(1)g(2)g(3)的值。
38.已知函数h(x)ln(x24x3)，求其定义域和值域。
39.已知函数k(x)x22x3，求其顶点坐标和对称轴方程。
40.已知函数m(x)log2(x1)log2(x1)，求其定义域和值域。
12.不等式题（每题5分，共5题，25分）
41.解不等式2x23x10。
42.解不等式x22x3。
43.