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运筹学概述
数学建模基础
线性规划方法
运输与指派问题
动态规划与决策分析
课程实践与总结
目录
01
运筹学概述
定义与发展历程
运筹学定义
学科特点
发展历程
运筹学是一门应用数学方法、科学技术和计算机技术，对实际问题进行建模、求解和优化的学科。
运筹学起源于二战时期的军事需求，经历了从军事应用到民用领域的广泛拓展，现已成为管理科学、工程科学、社会科学等领域的重要工具。
运筹学具有跨学科性、实践性、优化性和决策性等特点，强调将理论知识应用于解决实际问题。
核心研究对象
优化问题
研究如何在有限资源条件下，寻找最优方案以实现目标最大化或成本最小化。
01
决策问题
研究在不确定条件下，如何进行科学决策以获取最佳结果。
02
博弈论
研究不同利益主体之间的策略互动和决策过程，以及如何通过博弈达到均衡。
03
排队论
研究随机服务系统中的排队现象，以及如何优化排队规则和排队策略。
04
军事应用
工业工程
包括城市规划、公共卫生、教育管理等，以优化社会资源配置和提高公共服务水平。
社会科学
包括投资决策、资源分配、市场分析等，以优化经济发展和提高经济效益。
经济管理
包括路线规划、航班安排、物流配送等，以提高运输效率和减少拥堵。
交通运输
包括作战计划制定、兵力部署、装备采购与分配等，以提高军事效益和战斗力。
包括生产计划与调度、库存管理、质量控制等，以提高生产效率和经济效益。
实际应用领域
02
数学建模基础
建模基本步骤
明确问题
深入理解实际问题的背景和目标，确定问题的范围和关键因素。
建立模型
选择合适的数学方法，将问题转化为数学模型，明确模型中的变量、参数和约束条件。
求解模型
运用数学工具对模型进行求解，得出数学解或数值解。
解读结果
将求解结果转化为实际问题的解，并对结果的合理性和有效性进行检验。
常见模型分类
常见模型分类
优化模型
预测模型
仿真模型
评估模型
用于求解最优解或满意解的问题，如线性规划、整数规划、非线性规划等。
通过模拟实际系统的运行过程，研究系统行为和性能，如蒙特卡洛仿真、系统动力学等。
根据历史数据或已知信息，对未来状态进行预测和分析，如时间序列分析、回归分析等。
用于评估决策方案或项目的风险和效果，如风险分析、成本效益分析等。
如资源分配、任务分配等，可运用线性规划或整数规划模型进行优化。
如最短路径、最小费用路径等，可运用图论和网络优化方法求解。
如项目排序、机器调度等，可运用排序论和启发式算法进行求解。
如多目标决策、风险决策等，可运用多属性决策分析和决策树等方法进行辅助决策。
建模实例分析
分配问题
路径问题
排序问题
决策分析问题
03
线性规划方法
线性规划问题
线性规划是一种在给定约束条件下，求解目标函数最大或最小值的方法。
决策变量
线性规划中的变量，代表决策者需要确定的未知量。
约束条件
线性规划问题中限制决策变量取值的条件，用等式或不等式表示。
可行解
满足所有约束条件的解，即决策变量的取值组合。
基本概念与假设
单纯形法原理
初始可行解
通过人为加入松弛变量，将不等式约束转化为等式约束，从而找到一个初始可行解。
最优解判断
通过迭代过程，不断检查当前解的相邻解是否更优，直到找到最优解。
迭代过程
根据最优解判断规则，选择未访问的约束条件进行迭代，更新当前解。
终止条件
当所有约束条件都已访问，或者当前解已经是最优解时，迭代终止。
对偶理论与灵敏度分析
对偶问题
灵敏度分析
对偶变量
互补松弛定理
每一个线性规划问题都存在一个与其对应的对偶问题，对偶问题的解可以提供原问题最优解的影子价格或边际成本。
对偶问题中的变量，与原问题中的约束条件相对应。
研究约束条件变化对最优解的影响，包括约束条件系数变化、增加或删除约束条件等情况。
对偶问题的最优解与原问题的最优解之间存在一定的关系，即最优解满足互补松弛条件。
04
运输与指派问题
运输问题模型
运输问题定义
研究将某种物资从若干个产地（或仓库）运输到若干个销地（或需求点）的运输方案，使得总运输费用最小或总运输距离最短等问题。
运输问题数学模型
运输问题类型
包括目标函数（总运输费用或距离最小）、约束条件（产地、销地供需平衡、非负运输量等）。
按运输费用与运输量关系可分为线性运输问题和非线性运输问题；按产地和销地数目可分为单一产地和单一销地问题、多产地和多销地问题。
1
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3
表上作业法定义
制定初始运输计划表、计算初始运输费用、进行方案调整（如逐次逼近法、最短路径法等）、检查方案是否满足约束条件、输出最优方案。
表上作业法步骤
表上作业法优缺点
方法简单易懂，适用于小规模运输问题；但计算量大，对大规模问题求解效率较低。
一种基于运输问题模型的求解方法，通过制定运输计划表，在表上进