当Z1、Z3、Z5全为电阻，Z2与Z4中的一个为电容时，电路呈现电感，将R4换成C4，则有有源电感值计算容易，测量也容易，用双踪示波器的两个探头分别接V1与V5，可以分别看到有源电感的电压与电流，当置于李萨如位置时能够看有源电感的相图。第31页，共63页，星期日，2025年，2月5日典型蔡氏电路也可以改变它的局部结构而仍然产生混沌输出，上面的蔡氏振荡器就是一例。典型蔡氏电路为基础派生出来的电路很多，例如在C1两端并联一个小电容就能改变蔡氏电路的动态特性。它在保密蔡氏电路中得到应用。如果在线性电阻与C2、L端并联一节RC电路，也能产生混沌输出，并且此混沌更复杂，因为多了一个储能元件，也就使得微分方程多了一阶，这样的混沌是超混沌。蔡氏电路的物理电路实验具有一定的难度，这是由于混沌运动对于电路元件参数的误差特别敏感，一般说来，蔡氏电路中只要一个电路元件的误差超过1%就有可能导致整体设计的失败，这在后面讲到的混沌同步实验中特别重要，要引起足够的重视。而在线性电子线路中不存在这样的问题。第32页，共63页，星期日，2025年，2月5日典型蔡氏电路实验除仔细选择电子元件外，对于线性电阻R的4-5位精度一定要保证，在初步实验中可以用2个多圈精密电位器串联进行细心调试，定型实验装置中使用高稳定度的电阻器元件R，需要时自行绕制电阻器R。电感器L的小电阻要在焊接之前测量出来并做好记录以备后查，仿真时要对它进行仿真，电子市场买到的普通电感器一般不能产生混沌输出，若必须使用电子市场买的普通电感器，可以使用几只串联，最好自己专门绕制电感器，并且需要精确测量它的参数。电子市场买到的普通电容器一般离散性很大，也需要精心选择。第33页，共63页，星期日，2025年，2月5日制作多个相同的混沌电路时，必须保证电路元件的对称性，可以在购买电子元件时多购买3-10倍的元件，从中选取参数集中的元件组成设计电路。设计混沌电路参数时，尽量使较多的元件具有相同的参数，以利于元件采购，这是混沌电子线路实验的特点。非线性电路的设计极易失败，线性电子线路实验的经验有很大的局限性。第34页，共63页，星期日，2025年，2月5日§3范德坡方程及其电路一、范德坡微分方程与二阶LC振荡电路振荡是自然界普遍存在的一种运动形式，力学、声学、热力学、电工学、光学、微观粒子中普遍存在着各种各样的振动，其深入研究具有理论意义与应用价值。本节研究非线性电路的极限环，它对应电子学中的各种自激振荡电路，并以二阶电路为例进行研究。从电子学一个世纪的历史来看，范德坡方程电路是最早遇到的能够产生混沌的电路，范德坡是第一个遇到混沌的科学家。当时范德坡研究的是三相复振荡器，并且进行振荡电路实验研究，当改换振荡频率过程时，在耳机中听到不规则的振荡声音，这正是混沌声音，范德坡把电路中的混沌现象理解为是噪声，是暂时没有消除的电路设计缺陷。第35页，共63页，星期日，2025年，2月5日描述振荡电路的微分方程是范德坡方程，它是非线性微分方程，在21世纪20年代研究电子管RLC电路时得到。与线性微分方程相比，非线性微分方程的解有两个新结果，一是能够产生稳定性极限环，一是能够产生不确定性混沌。本节重点讨论稳定极限环，也提及如何由稳定极限环转换成混沌。RLC的电压电流关系容易导出所需微分方程，只要考虑到电子管电路的非线性，就能得到范德坡非线性微分电路方程。现在的教科书中的多数振荡器电路都是这样的非线性电路，本质就是放大器的限幅非线性。电子电路中的振荡电路是耗散结构，它从直流电压源中获得电的能量，以储能元件电容与电感进行电场能与磁场能两种形式的电能量之间的交换，又通过其中的电阻将电能转换成非电能的热能。下面推导从晶体管LC振荡器得到的范德坡方程。图4-12(a)是一个简单LC振荡器电路，等效交流电路如图(b)，图(b)中的电压源是变压器耦合电压，来自电感的耦合电压。第36页，共63页，星期日，2025年，2月5日将L的串联等效电阻r变换成并联形式，用符号R表示，是线性电阻，如图(c)。将三极管等效为电阻RNL如图(d)。这个电阻是电压控制电流型的广义电阻，是一个非线性负电阻，推导如下：三极管的集电极电压-基极电压关系曲线是反向变压器决定的曲线，如图(e)所示。三极管的基极电压-基极电流关系曲线，如图(f)所示，其中ube1是发射结导通电压，对于硅材料约0.65伏。三极管的基极电压-集电极电流在放大区是线性关系，饱和后集电极电流不再改变，由直流电压源的电压与集电极直流电阻决定，如图(g)所示。结合图(f)与图(g)，得到图(h)基极电压-集电极电流关系曲线，