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文件名称:计算方法 课件 第7章 常微分方程初值问题的数值解法.pdf
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更新时间:2025-06-05
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文档摘要

第7章常微分方程初值问题的

数值解法

?基本概念

◆微分方程:包含自变量、未知函数及未知函

数的导数或微分的方程;(y(x)=1+2x+y(x))

◆常微分方程:未知函数为一元函数的微分方程;

◆为了衡量微分方程的精度,引入局部截断误差

和阶数的概念。

1

?问题描述

已知?y=f(x,y)

?

y(x)=y

?00

求y(x)(i=1,2,…,n)的近似值y。

ii

例如:?y=y

?

?y(0)=1

的解y=ex有表可查,对于表中没有的值,仍

需要用插值法计算。

2

?求解途径

假定x-x=h(i=0,1,…,n),建立数值方法(求

i+1i

近似值方法)常用的途径有:

①用差商代替导数:

y(x+h)?y(x)yf(x,y)

?

利用y(x)?h将原方程组?化为:

y(x)y

?00

?y=y(x)

?00(i=0,1,2,...)

y=y+hf(x,y)

?i+1iii

3

②使用数值积分:

对y=f(x,y)两端在(x,x)上求积分,有

ii+1

xi+1

y(x)=y(x)+f(t,y(t))dt

i+1i?x

i

若用梯形法计算右端的积分,得

?y=y(x)

?00

?h(i=0,1,2,)

y=y+[f(x,y)+f(x,y)]

?i+1