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文件名称:计算方法 课件 第7章 常微分方程初值问题的数值解法.pdf
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更新时间:2025-06-05
总字数:约1.04万字
文档摘要
第7章常微分方程初值问题的
数值解法
?基本概念
◆微分方程:包含自变量、未知函数及未知函
数的导数或微分的方程;(y(x)=1+2x+y(x))
◆常微分方程:未知函数为一元函数的微分方程;
◆为了衡量微分方程的精度,引入局部截断误差
和阶数的概念。
1
?问题描述
已知?y=f(x,y)
?
y(x)=y
?00
求y(x)(i=1,2,…,n)的近似值y。
ii
例如:?y=y
?
?y(0)=1
的解y=ex有表可查,对于表中没有的值,仍
需要用插值法计算。
2
?求解途径
假定x-x=h(i=0,1,…,n),建立数值方法(求
i+1i
近似值方法)常用的途径有:
①用差商代替导数:
y(x+h)?y(x)yf(x,y)
?
利用y(x)?h将原方程组?化为:
y(x)y
?00
?y=y(x)
?00(i=0,1,2,...)
y=y+hf(x,y)
?i+1iii
3
②使用数值积分:
对y=f(x,y)两端在(x,x)上求积分,有
ii+1
xi+1
y(x)=y(x)+f(t,y(t))dt
i+1i?x
i
若用梯形法计算右端的积分,得
?y=y(x)
?00
?h(i=0,1,2,)
y=y+[f(x,y)+f(x,y)]
?i+1