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第6章数值积分和数值微分

牛顿莱布尼兹公式:若f(x)在[a,b]上连续,则

必存在原函数F(x)使F′(x)=f(x)，x∈[a,b],并且

b

?af(x)dx=F(b)?F(a)

1

但在具体计算f(x)的定积分时,莱布尼兹公式

222

有其局限性，如求f(x)=sin(x),f(x)=x2x+3

或列表函数的原函数就不方便。在解实际问题时,

常常只需计算满足一定精度要求的近似值。因此

我们需要研究定积分的数值方法（近似方法）。

2

第一节数值积分概述

?基本思想

b

用近似曲线代替f(x)求?af(x)dx的近似值。

若用直线代替f(x):

yy=f(a)+[f(b)-f(a)]/(b-a)*(x-a)

y=f(x)

abx

3

bb

?af(x)dx??a[f(a)+(f(b)?f(a))/(b?a)*(x?a)]dx

bb?a

?af(x)dx?2[f(a)+f(b)]

这就是梯形公式。

若用抛物线代替f(x)，可得：

bb?aa+b

?af(x)dx?6[f(a)+4f(2)+f(b)]

这就是抛物线公式或辛普森(Simpson)公式。

上述公式称为数值求积公式（机械求积公式）。

4

?插值求积公式

设f(x)为列表函数(x,f(x))(i=0,1,…,n)，

ii

作n次拉格朗日插值多项式：

n?(x)

P(x)=?f(xk)

k=0(x?xk)?(xk)

nn

其中?(x)?(x=?xi),?(xk)?(xk=?xi)

i0