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文档摘要

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在生产过程、科学实验和统计分析中，往往需

要通过得到的一组实验数据或观测数据找出变化规

律（不是严格地通过每个数据点），求出一条近似

曲线，确定函数的近似表达式——曲线拟合。

1

第5章曲线拟合的最小二乘法

插值法和曲线拟合都是用来求列表函数f(x)

的近似函数φ(x)。插值法求出的近似曲线y=φ(x)

要完全通过所有n+1个已知点；而曲线拟合求出

的近似曲线y=φ(x)不要求完全通过所有n+1个已

知点，只要求得的近似曲线y=φ(x)能反映数据的

基本趋势即可。

2

曲线拟合求得的近似曲线比插值法求得的近似

曲线更能反映客观实际。因为列表函数中的点往

往是通过实验、测量或计算得来的，这些数据往

往带有误差,如果要求所求得的曲线通过所有已知

点，会保留这些误差，这是我们所不希望的。

3

?曲线拟合问题

设函数y=f(x)在n+1个互异点的观测数据为

x0,x1,…,xn

y0,y1,…,yn

构造函数φ(x)在包含全部基点的区间上“最好”地

逼近（或靠近）f(x)，这就是曲线拟合问题，即

使曲线y=φ(x)尽量靠近已知点(x,y)(i=0,1,2,…,n)。

ii

4

y

(x,y)

y=φ(x)nn

ε

(x,y)(xn-1,yn-1)n

11(x,y)

22

ε

n-1

ε

1

(x,y)ε2

00

ε

0

x

0x0x1x2xn-1xn

…

5

?最小二乘法

2n

假设y=φ(x)(其中φ(x)=a+ax+ax+…+ax）

01