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文档摘要

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在科学研究和工程技术中常常遇到求解非线

性方程的问题。

nn-1

求n次代数方程：ax+ax+…+ax+a=0的根;

nn-110

求指数方程：e-2x+x=1的根；

求三角函数方程：sin(2x)+x=1的根；

1

这些方程看似简单，但却不易求其准确根。

而在实际问题中，只要能获得满足一定精确度的

近似根就可以了。

方程的形式很多，我们主要讨论一元非线性

方程，也即f(x)=0，其中f(x)为非线性函数，若有

数x*使f(x*)=0成立，则称x*为方程f(x)=0的根，

或称x*为函数f(x)的零点。

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第2章非线性方程的数值解法

初始近似值的搜索

迭代法

牛顿迭代法

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第一节初始近似值的搜索

求一元非线性方程的3个步骤（要解决的3个

问题）：

(1)判断根的存在性。方程有没有根？如果有根，

有几个根？

(2)有根区间搜索。

(3)根的精确化。

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判断根的存在性

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定理１（介值定理）设函数f(x)在区间[a,b]上连续，

且f(a)f(b)0，则方程f(x)在[a,b]上至少有一个根。

定理２设函数f(x)在区间[a,b]上是单调连续函数，

且f(a)f(b)0，则方程f(x)在[a,b]上有且只有一个根。

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初始根的确定

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★逐步搜索法（逐步扫描法）

设单值连续函数f(x)在有根区间[a,b]，假定f(a)0:

(1)从x=a出发，按预定步长h向右跨；

0

(2)每跨一步进行一次根的搜索，即检查函数值

f(x=a+kh)的符号；

k

(3)一旦发现与a处函数值异号，则可确定缩小的

有根区间[x,x]，其宽度等于步长h。

k-1k

逐步搜索法一般用于初步确定根的位置。

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3

例:方程f(x)=x-x-1=0，

利用逐步搜索法确定一个有根区间。

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根的精确化

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★区间二分法