3.函数的左、右极限定义第31页，共52页，星期日，2025年，2月5日定义第32页，共52页，星期日，2025年，2月5日(1)左、右极限均存在,且相等；(2)左、右极限均存在,但不相等；(3)左、右极限中至少有一个不存在.找找例题！函数在点x0处的左、右极限可能出现以下三种情况之一：第33页，共52页，星期日，2025年，2月5日y=f(x)xOy11在x=1处的左、右极限.解例9第34页，共52页，星期日，2025年，2月5日定理利用|x?x0|?????x?x0?和极限的定义,即可证得.第35页，共52页，星期日，2025年，2月5日解例10第36页，共52页，星期日，2025年，2月5日解例11第37页，共52页，星期日，2025年，2月5日*关于函数极限概念第1页，共52页，星期日，2025年，2月5日第二章极限本章学习要求：了解数列极限、函数极限概念，知道运用“ε－δ”和“ε－X”语言描述函数的极限。理解极限与左右极限的关系。熟练掌握极限的四则运算法则以及运用左右极限计算分段函数在分段点处的极限。理解无穷小量的定义。理解函数极限与无穷小量间的关系。掌握无穷小量的比较，能熟练运用等价无穷小量计算相应的函数极限。了解无穷大量的概念及其与无穷小量的关系。理解极限存在准则。能较好运用极限存在准则和两个重要极限求相应的函数极限。第2页，共52页，星期日，2025年，2月5日第二章极限第二节函数的极限与性质三.极限定义及定理小结四.函数极限的基本性质第3页，共52页，星期日，2025年，2月5日由于数列实际上可以看成是定义域为正整数域的函数,所以,可望将数列的极限理论推广到函数中,并用极限理论研究函数的变化情形.的图形可以看出:如何描述它？第4页，共52页，星期日，2025年，2月5日第5页，共52页，星期日，2025年，2月5日定义想想：如何从几何的角度来表示该定义？第6页，共52页，星期日，2025年，2月5日第7页，共52页，星期日，2025年，2月5日将图形对称过去后,你有什么想法?将图形对称第8页，共52页，星期日，2025年，2月5日定义第9页，共52页，星期日，2025年，2月5日现在从整体上来看这个图形,你有什么想法?第10页，共52页，星期日，2025年，2月5日你能否由此得出一个极限的定义和一个重要的定理.现在从整体上来看这个图形,你有什么想法?第11页，共52页，星期日，2025年，2月5日定义第12页，共52页，星期日，2025年，2月5日由于|x|X0??xX或x?X,所以,x按绝对值无限增大时,又包含了x???的情形.既包含了x?+?,第13页，共52页，星期日，2025年，2月5日定理及极限的三个定义即可证明该定理.由绝对值关系式:第14页，共52页，星期日，2025年，2月5日证成立.由极限的定义可知:例1第15页，共52页，星期日，2025年，2月5日解无限缩小,可以小于任意小的正数.因而应该有下面证明我们的猜想:证明过程怎么写？例2第16页，共52页，星期日，2025年，2月5日这里想得通吗？第17页，共52页，星期日，2025年，2月5日由图容易看出：分析需要证明之处请同学们自己证一下.例3第18页，共52页，星期日，2025年，2月5日例4证第19页，共52页，星期日，2025年，2月5日x?x0时函数的极限,是描述当x无限接近x0时,函数f(x)的变化趋势.第20页，共52页，星期日，2025年，2月5日f(x)在点x0=0处有定义.函数f(x)在点x0=1处没有定义.例5第21页，共52页，星期日，2025年，2月5日定义第22页，共52页，星期日，2025年，2月5日((第23页，共52页，星期日，2025年，2月5日证这是证明吗？非常非常严格！例6第24页，共52页，星期日，2025年，2月5日证例7第25页，共52页，星期日，2