关于微积分不定积分的概念及性质第1页，共32页，星期日，2025年，2月5日运算是一种对应法则。设A是一个非空集合，对于A中的任意两个元素a，b，根据某种法则，使A中有唯一确定的元素c与它们对应，我们就说这个法则是A中的一种运算。给了A的任意两个元素a和b，通过所给的运算，可以得到一个结果c。反过来，如果已知元素c，以及元素a，b中的一个，按照某种法则，可以得到另一个元素，这样的法则也定义了一种运算，这样的运算叫做原来运算的逆运算。如：加法与减法，乘法与除法，指数与对数。微分与积分也互为逆运算。逆运算第2页，共32页，星期日，2025年，2月5日？运算求导运算与逆运算幂开方第3页，共32页，星期日，2025年，2月5日例定义：一、原函数与不定积分的概念(primitivefunction)定义第4页，共32页，星期日，2025年，2月5日原函数存在定理：简言之：连续函数一定有原函数.问题：(1)原函数是否唯一？例（为任意常数）(2)若不唯一它们之间有什么联系？定理第5页，共32页，星期日，2025年，2月5日关于原函数的说明：（1）若，则对于任意常数，（2）若和都是的原函数，则（为任意常数）证（为任意常数）第6页，共32页，星期日，2025年，2月5日任意常数积分号被积函数不定积分(indefiniteintegral)的定义：被积表达式积分变量定义原函数函数的全体原函数等于它的某个原函数加上一个任意常数！求和：sum第7页，共32页，星期日，2025年，2月5日4.被积函数是原函数的导数,被积表达式是原函数的微分。5.不定积分表示那些导数等于被积函数的所有函数，或者其微分等于被积表达式的所有函数,因此决不能漏写积分常数C.2.求已知函数的全体原函数或不定积分的运算称为积分运算。3.已知原函数求导函数,用微分运算；已知导函数求原函数，用积分运算。微分和积分是互逆的运算。1.直接函数和反函数是一对概念；原函数和导函数是一对概念，不可混淆。第8页，共32页，星期日，2025年，2月5日例1求解解例2求第9页，共32页，星期日，2025年，2月5日例3某商品的边际成本为,求总成解其中为任意常数本函数.第10页，共32页，星期日，2025年，2月5日二、不定积分的几何意义显然，求不定积分得到一积分曲线族,横坐标处,任一曲线的切线有相同的斜率.0xy在同一第11页，共32页，星期日，2025年，2月5日微分(求导)运算与求不定积分的运算是互逆的.三、不定积分的性质例第12页，共32页，星期日，2025年，2月5日实例启示能否根据求导公式得出积分公式？结论既然积分运算和微分运算是互逆的，因此可以根据求导公式得出积分公式.四、基本积分表第13页，共32页，星期日，2025年，2月5日基本积分表?是常数);说明：第14页，共32页，星期日，2025年，2月5日第15页，共32页，星期日，2025年，2月5日第16页，共32页，星期日，2025年，2月5日例4求积分解第17页，共32页，星期日，2025年，2月5日证等式成立.（此性质可推广到有限多个函数之和的情况）四、不定积分的性质第18页，共32页，星期日，2025年，2月5日例5求积分解称为定积分的线性性质。第19页，共32页，星期日，2025年，2月5日*练习求积分解不能直接利用积分公式，需先变形基本积分公式第20页，共32页，星期日，2025年，2月5日例6求积分解第21页，共32页，星期日，2025年，2月5日例7求积分解第22页，共32页，星期日，2025年，2月5日练习求积分解:第23页，共32页，星期日，2025年，2月5日例8求积分解说明：以上几例中的被积函数都需要进行恒等变形，才能使用基本积分表.化积分为代数和的积分第24页，共32页，星期日，2025年，2月5日*练习求积分解:第25页，共32页，星期日，2025年，2月5日****这些曲线的共同特征是：横坐标相同的点斜率相同。**