关于数列极限的收敛准则第1页，共34页，星期日，2025年，2月5日第一节数列的极限一、数列及其简单性质√二、数列的极限√三、数列极限的性质√四、数列的收敛准则第2页，共34页，星期日，2025年，2月5日第3页，共34页，星期日，2025年，2月5日3.保号性定理证由绝对值不等式的知识,立即得a0的情形类似可证,由学生自己完成.第4页，共34页，星期日，2025年，2月5日保号性定理的推论1：这里为严格不等号时此处仍是不严格不等号第5页，共34页，星期日，2025年，2月5日保号性定理的推论2：在极限存在的前提下,对不等式两边可以同时取极限,不等号的方向不变,但严格不等号也要改为不严格不等号.第6页，共34页，星期日，2025年，2月5日例1证逆命题成立吗？第7页，共34页，星期日，2025年，2月5日例2证第8页，共34页，星期日，2025年，2月5日第9页，共34页，星期日，2025年，2月5日例3解利用函数的周期性,在{xn}中取两个子数列:第10页，共34页，星期日，2025年，2月5日1.单调收敛准则单调减少有下界的数列必有极限.单调增加有上界的数列必有极限.一、数列极限收敛准则通常说成：单调有界的数列必有极限.第11页，共34页，星期日，2025年，2月5日证由中学的牛顿二项式展开公式例1第12页，共34页，星期日，2025年，2月5日类似地,有第13页，共34页，星期日，2025年，2月5日第14页，共34页，星期日，2025年，2月5日又等比数列求和放大不等式每个括号小于1.第15页，共34页，星期日，2025年，2月5日综上所述,数列{xn}是单调增加且有上界的,由极限存在准则可知,该数列的极限存在,通常将它记为e,即e称为欧拉常数.第16页，共34页，星期日，2025年，2月5日第17页，共34页，星期日，2025年，2月5日欧拉一身经历坎坷。他于1707年生于瑞士巴塞尔，20年后却永远离开了祖国。在他76年的生命历程中，还有25年住在德国柏林（1741－1766年），其余时间则留在俄国彼得堡。欧拉31岁时右眼失明，59岁时双目失明。他的寓所和财产曾被烈火烧尽（1771年），与他共同生活40年的结发之妻先他10年去世。欧拉声誉显赫。12次获巴黎科学院大奖（1738－1772年）曾任彼得堡科学院、柏林科学院、伦敦皇家学会、巴塞尔物理数学会、巴黎科学院等科学团体的成员。第18页，共34页，星期日，2025年，2月5日欧拉成就卓著。生前就出版了560种论著，另有更多未出版的论著。仅仅双目失明后的17年间，还口述了几本书和约400篇论文。欧拉是目前已知成果最多的数学家。欧拉聪明早慧，13岁入巴塞尔大学学文科，两年后获学士学位。第二年又获硕士学位。后为了满足父亲的愿望，学了一段时期的神学和语言学。从18岁开始就一直从事数学研究工作。欧拉具有超人的计算能力。法国天文学家、物理学家阿拉哥（D.F.J.Arago，1786－1853）说：“欧拉计算一点也不费劲，正像人呼吸空气、或像老鹰乘风飞翔一样。”第19页，共34页，星期日，2025年，2月5日有一次，欧拉的两个学生计算一个复杂的收敛级数的和，加到第17项时两人发现在第50位数字相差一个单位。为了确定究竟谁对，欧拉用心算进行了全部运算，准确地找出了错误。特别是在他双目失明后，运用心算解决了使牛顿头疼的月球运动的复杂分析运算。欧拉创用a，b，c表示三角形的三条边，用A，B，C表示对应的三个角(1748)；创用?表示求和符号(1755)；提倡用?表示圆周率（1736）；1727年用e表示自然对数的底；还用?y表示差分等等。十八世纪四十年代，欧拉的一些著作就已传到中国，如他在1748年出版的《无穷分析引论》。第20页，共34页，星期日，2025年，2月5日2.数列极限的夹逼定理设数列{xn},{yn},{zn}满足下列关系:(2)则(1)yn?xn?zn,n?Z+(或从某一项开始);想想：如何证明夹逼定理?第21页，共34页，星期日，2025年，2月5日第22页，共34页，星期日，