与
数理统计
理学院数学系
概率论与数理统计电子课件
概率论
“悟道诗--严加安”
随机非随意，概率破玄机；无序隐有序，统计解迷离.
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随机非随意概率破玄机无序隐有序疏计服迷离
倍通诗
夜之的天品
第六章
数理统计基本概念
与抽样分布
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第一节总体与样本
一、总体与个体
二、抽样与样本
三、统计量
四、小结
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一、总体与个体
定义1:通常称研究对象的全体为总体，称组成总体的每个元素为个体，总体中包含个体的个数称为总体容量.
根据总体容量的多少可分为有限总体和无限总体.
例如，要研究某地区2021年新出生婴儿身高情况，
可认为该地区所有2021年新出生婴儿的身高为总体，每个新出生婴儿的身高为个体.
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总体具体表现为就是一些取值(数),如身高、
射程、深度等.因此可以用某一随机变量X的取值
去描述总体的取值，或者说将总体对应于某一随机
变量X,把对总体的研究变成对某一随机变量X的研究，总体的分布对应于某一随机变量X的分布.由
于每一个个体在被观测之前，取值不确定，且都在
总体的取值范围内取值，所以也可将个体看作某一
个随机变量(记作X;),其与总体具有相同的分布.
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二、抽样与样本
定义：从总体抽取个体的过程称为抽样，抽取出的
个体称为样本，样本中含有个体的数量称为样本容量.简单随机抽样：
(1)独立性：需要保证每个个体被抽到与否，不受其他个体的被抽取情况影响；
(2)随机性：需要保证每个个体都有相同被抽到的可能性，以使抽样具有代表性.
采用简单随机抽样抽出的样本，称为简单随机样本.
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总体用X表示，简单随机样本可记作X?,X?,...,Xn,
则有
(1)X?,X2,…,Xn之间相互独立；
(2)每个个体X,与总体X有相同的分布.
注6.1.1如果对总体进行放回随机抽样，得到的样本一定是简单随机样本.如果对总体进行不放回随机抽样，则无法完全保证相互之间独立性.但当样本容量远小于总体容量时，可将此种情况的抽样近似看作是简单随机抽样.
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注6.1.2对于简单随机样本X?,X?,.…,Xn,可得
(1)若总体X的期望、方差都存在，则E(X;)=E(X),D(X;)=D(X),i=1,...,n;
(2)若总体X的分布函数为F(x),则X?,X2.…,X的联合分布函数为
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(4)若总体X为连续随机变量，且其概率密度函
数为f(x),则X?,X?,.….,Xn的联合概率密度函数
为
(3)若总体X为离散随机变量，且其概率函数为
,则x)X?,X?,的联合概率函数为
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三、统计量
定义6.1.1设X1,X?,.…,X,是来自总体X的一个样本，T是样本的函数，记为T=g(X?,X?,.….,Xn)n,
若T=g(X?,X?,..,Xn)n中不含有未知的参数，则称T为统计量.统计量的分布称为抽样分布.
注(1)统计量是的样本函数，但样本的函数不一
定是统计量；
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(2)统计量T=g(x?,X?,….,xn)是一个随机变
量，当样本X?,X?,.….,X。的观测值为x?,x?,.…,xn时，称T=g(x?,X?,.….,xn)为该统计量的观测值.
例如，对于正态总体X~N(μ,o2),其中μ为已知，o2为未知.取总体一组样本X?,X?,X3,X4,X5,X6,
都是统计量，而
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不
,
定义6.1.2设X1,X?.….,X,是来自总体X的一个样
本，则常用
样本方差：
样本阶原点矩：
样本k阶中心矩：
,k=2,3,…
样本均值：
样本标准差：S=√S2
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注6.1.4除样本均值与样本方差(标准差)是最常
用到的统计量之外，样本的三、四阶矩也有一些应用，四阶以上的则很少用到：
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在有些实际问题中，需要考虑样本的极大和极小相
关的情况，比如质量管理、可靠性等方面，为此引入顺序统计量，中位数，分位数的概念.这个三个概念的定义详见教材。
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样本
X?
X?
X?
X?X?
组1
2.5
2.1
1.7
2.