第06讲对数与对数函数(精讲）
目录
TOC\o13\h\u第一部分：知识点必背 2
第二部分：高考真题回归 3
第三部分：高频考点一遍过 6
高频考点一：对数的运算 6
高频考点二：换底公式 8
高频考点三：对数函数的概念 9
高频考点四：对数函数的定义域 12
高频考点五：对数函数的值域 13
①求对数函数在区间上的值域 13
②求对数型复合函数的值域 13
③根据对数函数的值域求参数值或范围 16
高频考点六：对数函数的图象 19
①对数（型）函数与其它函数的图象 19
②根据对数（型）函数的图象判断参数 25
③对数（型）函数图象过定点问题 27
高频考点七：对数函数的单调性 30
①对数函数（型）函数的单调性 30
②由对数函数（型）函数的单调性求参数 32
③由对数函数（型）函数的单调性解不等式 36
④对数（指数）综合比较大小 38
高频考点八：对数函数的最值 40
①求对数（型）函数的最值 40
②根据对数（型）函数的最值求参数 42
③对数（型）函数的最值与不等式综合应用 47
第四部分：高考新题型 50
①开放性试题 50
②劣够性试题 51
第五部分：数学思想方法 55
①数形结合的思想 55
②分类讨论的思想 58
第六部分：新文化题 60
温馨提醒：浏览过程中按ctrl+Home可回到开头
第一部分：知识点必背
1、对数的概念
（1）对数：一般地，如果，那么数叫做以为底的对数，记作，其中叫做对数的底数，叫做真数.
（2）牢记两个重要对数：常用对数，以10为底的对数；自然对数，以无理数e=2.71828…为底数的对数.
（3）对数式与指数式的互化：.
2、对数的性质、运算性质与换底公式
（1）对数的性质
根据对数的概念，知对数具有以下性质：
①负数和零没有对数，即；
②1的对数等于0，即；
③底数的对数等于1，即；
④对数恒等式.
（2）对数的运算性质
如果，那么：
①；
②；
③.
（3）对数的换底公式
对数的换底公式：.
换底公式将底数不同的对数转化为底数相同的对数，进而进行化简、计算或证明.换底公式应用时究竟换成什么为底，由已知条件来确定，一般换成以10为底的常用对数或以为底的自然对数.
换底公式的变形及推广：
①；
②；
③(其中，，均大于0且不等于1，).
3、对数函数及其性质
（1）对数函数的定义
形如(，且)的函数叫做对数函数，其中是自变量，函数的定义域是．
（2）对数函数的图象与性质
图象
性质
定义域：
值域：
过点，即当时，
在上是单调增函数
在上是单调减函数
第二部分：高考真题回归
1．（2022·天津·高考真题）化简的值为（?????????）
A．1 B．2 C．4 D．6
【答案】B
【详解】原式
，
故选：B
2．（2022·浙江·高考真题）已知，则（????）
A．25 B．5 C． D．
【答案】C
【详解】因为，，即，所以．
故选：C.
3．（2022·全国（甲卷文）高考真题）已知，则（????）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】［方法一］：（指对数函数性质）
由可得，而，所以，即，所以.
又，所以，即，
所以.综上，.
［方法二］：【最优解】（构造函数）
由，可得．
根据的形式构造函数，则，
令，解得，由知.
在上单调递增，所以，即，
又因为，所以.
故选：A.
4．（2022·北京·高考真题）在北京冬奥会上，国家速滑馆“冰丝带”使用高效环保的二氧化碳跨临界直冷制冰技术，为实现绿色冬奥作出了贡献．如图描述了一定条件下二氧化碳所处的状态与T和的关系，其中T表示温度，单位是K；P表示压强，单位是．下列结论中正确的是（????）
A．当，时，二氧化碳处于液态
B．当，时，二氧化碳处于气态
C．当，时，二氧化碳处于超临界状态
D．当，时，二氧化碳处于超临界状态
【答案】D
【详解】当，时，，此时二氧化碳处于固态，故A错误.
当，时，，此时二氧化碳处于液态，故B错误.
当，时，与4非常接近，故此时二氧化碳处于固态，对应的是非超临界状态，故C错误.
当，时，因,故此时二氧化碳处于超临界状态，故D正确.
故选：D
5．（2022·全国（乙卷文）高考真题）若是奇函数，则_____，______．
【答案】????；????．
【详解】[方法一]：奇函数定义域的对称性
若，则的定义域为，不关于原点对称
若奇函数的有意义，则且
且，
函数为奇函数，定义域关于原点对称，
，解得，
由得，，
，
故答案为：；．
[方法二]：函数的奇偶性求参
函数