黑龙江省大庆市2023?2024学年高一下学期期末考试数学试题
一、单选题（本大题共8小题）
1．复数（为虚数单位）在复平面内对应的点位于（????）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．已知向量的夹角为，若，则（????）
A．1 B．2 C．3 D．4
3．若，则（????）
A． B． C． D．
4．设为空间中两条不同直线，为空间中两个不同平面，下列命题正确的是（????）
A．若，，，则
B．若不垂直于，，则必不垂直于
C．若，，则
D．若,是异面直线，，，，，则
5．已知向量，，满足：，且，则三角形的形状是（????）
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．等腰直角三角形 D．等边三角形
6．已知平面向量，，则向量在向量上的投影向量为（????）
A． B． C． D．
7．已知函数，把函数的图象沿轴向左平移个单位，得到函数的图象，关于函数，下列说法正确的是（????）
A．在上是单调递增函数 B．其图象关于直线对称
C．函数是奇函数 D．在区间上的值域为
8．如图，在中，，，，点在以为圆心且与边相切的圆上，则的最小值为（????）
??
A．0 B． C． D．
二、多选题（本大题共3小题）
9．给出下列说法，其中正确的是（????）
A．数据0，1，2，4的极差与中位数之积为6
B．已知一组数据的方差是5，则数据的方差是20
C．已知一组数据的方差为0，则此组数据的众数唯一
D．已知一组不完全相同的数据的平均数为，在这组数据中加入一个数后得到一组新数据，其平均数为，则
10．已知为虚数单位，则下列选项中正确的是（????）
A．复数的模为5
B．复数，则在复平面上的点在第四象限
C．复数是纯虚数，则或
D．若，则的最大值为
11．如图，在正方体中，若为棱的中点，点在侧面（包括边界）上运动，且∥平面，下面结论正确的是（????）
A．点的运动轨迹为一条线段
B．直线与所成角可以为
C．三棱锥的体积是定值
D．若正方体的棱长为1，则平面与正方体的截面的面积为
三、填空题（本大题共3小题）
12．样本数据17，13，22，16，11，20，14，24的分位数为.
13．已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4，体积为16，则这个球的表面积是.
14．某地进行老旧小区改造，有半径为60米，圆心角为的一块扇形空置地（如图），现欲从中规划出一块三角形绿地，其中在上，，垂足为，，垂足为，设，则（用表示）；当在上运动时，这块三角形绿地的最大面积是.
四、解答题（本大题共5小题）
15．在中，角所对的边分别为，向量，，且，为线段上一点.
(1)求角的大小；
(2)若为角的角平分线，，的周长为15，求的长.
16．2023年秋末冬初，呼和浩特市发生了流感疾病.为了彻底击败病毒，人们更加讲究卫生讲究环保.某学校开展组织学生参加线上环保知识竞赛活动，现从中抽取200名学生，记录他们的首轮竞赛成绩并作出如图所示的频率直方图，根据图形，请回答下列问题：
(1)若从成绩低于60分的同学中按分层抽样方法抽取5人成绩，求5人中成绩低于50分的人数；
(2)以样本估计总体，利用组中值估计该校学生首轮竞赛成绩的平均数；
(3)首轮竞赛成绩位列前的学生入围第二轮的复赛，请根据图中信息，估计入围复赛的成绩（记为）.
17．如图，在四棱锥中，M为AP边上的中点，N为CP边上的中点，平面平面，，，，．
??
(1)求证：平面；
(2)求证：平面.
18．如图，在四棱锥中，底面是正方形，平面，且PA=AD=2，为线段上的动点.
(1)若为的中点，求三棱锥的体积；
(2)若ED=2PE，问上是否存在点，使得平面？若存在，请指明点的位置；若不存在，请说明理由；
(3)求平面与平面所成锐二面角的余弦值.
19．在锐角中，角的对边为，若，.
(1)求角的大小；
(2)若为的中点，且，求的面积；
(3)如图，过点在所在平面内作，且满足.求线段的最大值.
参考答案
1．【答案】D
【详解】，
复数在复平面内对应的点的坐标是，位于第四象限．
故选：D
2．【答案】D
【分析】利用向量垂直的条件及向量数量积的定义即可求解.
【详解】因为，
所以，即，
又因为，向量的夹角为，
所以，即，解得.
故选D.
3．【答案】D
【分析】利用诱导公式和二倍角的余弦公式即可得到答案.
【详解】，
，
且，
故选D.
4．【答案】D
【分析】对于A，，可能平行、相交或异面；对于B，有可能垂直于；对于C，或；对于D，结合线面平行的性质定理与面面平行的判定定理即可得.
【详解】对于A：若，，，则，可能平行、相交或异面，故A错误；
对于B：若不垂直于，且，则有可能垂直于，故B错误；