河南省濮阳市华龙区濮阳市第一高级中学2024?2025学年高一下学期5月月考数学试题
一、单选题
1．设，则（????）
A． B． C． D．
2．已知向量，若，则（????）
A． B． C．1 D．2
3．在中，，则（????）
A． B． C． D．
4．已知是两条直线，是一个平面，下列命题正确的是（???）
A．若，，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
5．在中，若，且，那么一定是（）
A．等腰直角三角形 B．直角三角形
C．等腰三角形 D．等边三角形
6．已知正三棱台ABC?A1B1C1的体积为523,AB=
A．12 B．1 C．2 D．
7．在四面体中，平面，四面体的四个顶点都在球的表面上，则球的体积为（????）
A． B． C． D．
8．在中，，，，为线段上的动点（不包括端点），且，则的最小值为（????）
A． B． C． D．
二、多选题
9．已知、都是复数，下列正确的是（????）
A．若，则
B．
C．若，则
D．
10．已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，则下列说法正确的是（????）
A．若，则一定为锐角三角形
B．若，则是锐角三角形
C．若，则
D．若，，，则有两解
11．如图，在棱长为2的正方体中，分别是的中点，是线段上的动点，则下列说法中正确的是（????）
A．存在点，使四点共面
B．存在点，使平面
C．三棱锥的体积为
D．经过四点的球的表面积为
三、填空题
12．已知平面向量，满足，且在上的投影向量为，则向量与向量的夹角为.
13．在中，角的对边分别为，已知．则角.
14．如图，在四面体中，与所成的角为，分别为的中点，则线段的长为.
四、解答题
15．如图，已知三角形的内角的对边分别为，且.
（1）求的大小；
（2）若，设为三角形的角平分线，求的长.
16．如图，在三棱柱中，侧面，均为正方形，交于点，，为中点．
（1）求证：平面；
（2）求直线与平面所成的角．
17．的内角的对边分别为，已知，且的面积.
（1）求C；
（2）若内一点满足，，求．
18．如图所示正四棱锥，，P为侧棱SD上的点．且，求：
（1）设平面平面，求证：；
（2）侧棱SC上是否存在一点E，使得平面若存在，求的值；若不存在，试说明理由．
19．南北朝时期的伟大科学家祖暅，于五世纪末提出了体积计算原理，即祖暅原理：“夫叠棋成立积，缘幂势既同，则积不容异”．意思是：夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么，这两个几何体的体积相等．其最著名之处是解决了“牟合方盖”的体积问题．如图所示，正方体，棱长为．
（1）求图中四分之一圆柱体的体积；
（2）在图中画出四分之一圆柱体与四分之一圆柱体的一条交线（不要求说明理由）；
（3）四分之一圆柱体与四分之一圆柱体公共部分是八分之一个“牟合方盖”．点在棱上，设过点作一个与正方体底面平行的平面，求该截面位于八分之一“牟合方盖”内部分的面积；如果令，应用祖暅原理求出八分之一“牟合方盖”的体积．
参考答案
1．【答案】B
【详解】由题意可得，
则.
故选B.
2．【答案】D
【分析】根据向量垂直的坐标运算可求的值.
【详解】因为，所以，
所以即，故，
故选D.
3．【答案】B
【分析】利用正弦定理的边角变换与余弦定理即可得解.
【详解】因为，
所以由正弦定理得，即，
则，故，
又，所以.
故选B.
4．【答案】C
【详解】对于A，若，，则平行或相交，不一定垂直，故A错误.
对于B，若，则或，故B错误.
对于C，，过作平面，使得，
因为，故，而，故，故，故C正确.
对于D，若，则，故D错误.
故选C.
5．【答案】D
【详解】，则，
因为，所以，则，
又因为，，则，
则，即，
即，又因为，则，
所以，即.
即一定是等边三角形，故D正确.
故选D.
6．【答案】B
【解析】设正三棱台ABC?A1B1C1的高为?.∵AB=6,A1B
如图，设△ABC和△A1B1C1的中心分别为O,O1,连接A1O1,O1O,AO,作A1D⊥平面ABC交平面ABC于点D，由几何体ABC?A1
∴AD
∴tan∠A1AD
【一题多解】将正三棱台ABC?A1
则A1A与平面ABC所成角即为PA与平面
因为PA1PA
可知V棱台ABC?
设正三棱锥P?ABC的高为d，则V棱锥
取底面ABC的中心为O，连接PO，AO，则PO⊥底面ABC，PO=2
所以PA与平面ABC所成角的正切值为tan∠PAO=PO
7．【答案】A
【详解】在四面体中，由平面，平面，得，
而，平面，则平面，
因为平面，所以，又，取中点，连接，
因此，即点为四面体外接球球心，重合，
，球的半径，
所以球的体积为.