贵州省黔西南州2023?2024学年高一下学期期末教学质量监测数学试题
一、单选题（本大题共8小题）
1．设集合，，则（????）
A． B． C． D．
2．已知复数在复平面内对应的点的坐标为，则（????）
A． B．3 C．4 D．5
3．已知球的半径为，且该球的表面积与体积的数值之比为，则的值为（????）
A．3 B． C．2 D．1
4．已知函数，则取最小值时x的取值为（????）
A．1 B． C．2 D．
5．兴义市峰林布依景区在春节期间，迎来众多游客，其中某天接受了一个小型的旅行团，他们的年龄（单位：岁）如下：6，6，7，8，10，37，39，45，46，52，53，61，则这组数据的第75百分位数是（????）
A．34.5 B．46 C．49 D．52
6．中国古代数学著作主要有《周髀算经》，《九章算术》，《海岛算经》，《四元玉鉴》，《张邱建算经》，若从上述5部书籍中任意抽取2部，则抽到《九章算术》的概率为（????）
A． B． C． D．
7．已知，则（????）
A．6 B．4 C．3 D．2
8．如图，在棱长为1的正方体中，P为棱的中点，Q为正方形内一动点（含边界），则下列说法中错误的是（????）
A．平面截正方体所得截面为等腰梯形
B．若∥平面，则直线CQ不可能垂直于直线
C．若，则点Q的轨迹长度为
D．三棱锥的外接球的半径为
二、多选题（本大题共4小题）
9．已知i是虚数单位，下列说法正确的是（????）
A．若复数，则
B．若复数，则
C．若复数为纯虚数，则
D．
10．已知m，n是两条不同的直线，，，是三个不同的平面，则的充分条件是（????）
A．， B．，
C．， D．，，
11．对于任意的两个非零向量，，下列说法正确的是（????）
A．若，则
B．若且与不共线，则与的夹角等于与的夹角
C．
D．若，，则
12．为了强化学校体育，增强学生体质，狠抓校园足球工作，全面推动校园足球高质量发展，2023年10月22日，第七届“金州杯”校园足球联赛在普安举行．在去年的足球联赛上，甲队每场比赛平均失球数是1.5，全年比赛失球个数的标准差为1.1；乙队每场比赛平均失球数是2.1，全年比赛失球个数的标准差为0.4，则下列说法正确的是（????）
A．平均说来乙队比甲队的防守技术好
B．乙队比甲队技术水平更稳定
C．甲队防守中有时防守表现较差，有时表现又非常好
D．乙队很少不失球
三、填空题（本大题共4小题）
13．已知A，B两个事件相互独立，且，，则．
14．在正方体中，平面与平面ABCD所成锐二面角的大小为．
15．在中，角的对边分别为，，且是关于x的方程的两个不等实数根，则．
16．中国南北朝时期数学家、天文学家祖冲之、祖暅父子总结了魏晋时期著名数学家刘徽的有关工作经验，提出“幂势既同，则积不容异”.“幂”是截面积，“势”是几何体的高.详细点说就是，界于两个平行平面之间的两个几何体，被任一平行于这两个平面的平面所截，如果两个截面的面积相等，则这两个几何体的体积相等.上述原理在中国被称为祖暅原理.一个上底面边长为1，下底面边长为2，高为3的正四棱台与一个不规则几何体满足“幂势既同”，则该不规则几何体的体积为．
四、解答题（本大题共6小题）
17．已知向量，．
(1)当时，求的值；
(2)若向量，的夹角为锐角，求的取值范围．
18．如图，在正方体中．
(1)求证：∥平面；
(2)求证：平面．
19．已知e是自然对数的底数，若函数，且是偶函数．
(1)求实数a的值；
(2)判断函数的单调性（不用证明），并求不等式的解集．
20．为了了解学生躯干、腰、髋等部位关节韧带和肌肉的伸展性、弹性等，某学校对在校1500名学生进行了一次坐位体前屈测试，采用按学生性别比例分配的分层随机抽样抽取75人，已知这1500名学生中男生有900人，且抽取的样本中男生的平均数和方差分别为和，女生的平均数和方差分别为和．
(1)求样本中男生和女生应分别抽取多少人；
(2)求抽取的总样本的平均数，并估计全体学生的坐位体前屈成绩的方差．
21．2023年8月5日-9日，首届贵州科技节在贵阳召开，为了了解活动成效，从参会人员中随机抽取50人进行调查并统计其满意度评分（分数均在内），将所得分数分成5组：，，，，，制成频率分布直方图如图所示，其中满意度评分在的参会人数为18．
(1)求频率分布直方图中a，b的值；
(2)从抽取的50名参会人员中满意度评分在及的人员中用分层抽样的方法抽取5人，再从抽取的5人中随机抽取2人，求这2人中恰有1人的满意度评分在的概率．
22．如图，若内一点P满足，则称P为的布罗卡尔点．若设，则称为布罗卡尔角．
(1)若是边长为2的等边三角形，其布罗卡尔点是的内心