贵州省贵阳市南明区部分学校2023?2024学年高一下学期6月联考数学试卷
一、单选题（本大题共8小题）
1．已知复数，则（????）
A． B． C． D．
2．设是平面内的一个基底，则下面的四组向量不能构成基底的是（????）
A．和 B．和
C．和 D．和
3．已知，，是平面向量，是单位向量，若非零向量与的夹角为，向量满足，则的最小值是（????）
A． B． C． D．
4．为不重合的直线，为互不相同的平面，下列说法正确的是（????）
A．若，，，则 B．若，，，则
C．若，，则 D．若，，则或与异面
5．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．若，则的形状一定是（????）
A．等腰三角形 B．锐角三角形
C．直角三角形 D．钝角三角形
6．下列说法不正确的是（????）
A．正棱锥的底面是正多边形，侧面都是等腰三角形
B．棱台的各侧棱延长线必交于一点
C．用一个平面去截棱锥，底面与截面之间的部分是棱台
D．棱柱的侧棱都相等，侧面都是平行四边形
7．人脸识别就是利用计算机检测样本之间的相似度，余弦距离是检测相似度的常用方法．假设二维空间中有两个点，，O为坐标原点，定义余弦相似度为，余弦距离为．已知，，若P，Q的余弦距离为．则（????）
A． B． C． D．
8．如图，在正方体中，在线段上，则的最小值是（????）
A． B． C． D．
二、多选题（本大题共3小题）
9．下列命题中，真命题为（????）
A．复数为纯虚数的充要条件是
B．复数的共轭复数为
C．复数的虚部为
D．复数，则
10．已知，，是平面上三个非零向量，下列说法正确的是（????）
A．一定存在实数，使得成立
B．若，那么一定有
C．若，那么
D．若，那么，，一定相互平行
11．已知某市2017年到2022年常住人口（单位：万）变化图如图所示，则（????）
??
A．该市2017年到2022年这6年的常住人口的极差约为38万
B．该市2017年到2022年这6年的常住人口呈递增趋势
C．该市2017年到2022年这6年的常住人口的第60百分位数为730.50万
D．该市2017年到2022年这6年的常住人口的平均数大于718万
三、填空题（本大题共3小题）
12．若，，平面内一点P，满足，的最大值是．
13．在中，角的对边分别为，若，，则的取值范围是．
14．已知甲、乙、丙、丁四人各自独立解决某一问题的概率分别是0.5，0.4，0.3，a，如果甲、乙、丙至少有一人解决该问题的概率不小于丁独立解决这一问题的概率，则a的最大值是.
四、解答题（本大题共5小题）
15．已知盒中有大小、质地相同的红球、黄球、蓝球共4个，从中任取一球，得到红球或黄球的概率是，得到黄球或蓝球的概率是.
(1)求盒中红球、黄球、蓝球的个数；
(2)随机试验：从盒中有放回的取球两次，每次任取一球记下颜色.
（i）写出该试验的样本空间；
（ii）设置游戏规则如下：若取到两个球颜色相同则甲胜，否则乙胜.从概率的角度，判断这个游戏是否公平，请说明理由.
16．为提倡节约用水，某市为了制定合理的节水方案，对家庭用水情况进行了调查，通过简单随机抽样抽取2023年500个家庭的月均用水量（单位：），将数据按照，，，，，分成6组，绘制的频率分布直方图如图所示，已知这500个家庭的月均用水量的第27百分位数为6.9.
(1)在这500个家庭中月均用水量在内的家庭有多少户？
(2)求的值；
(3)估计这500个家庭的月均用水量的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）.
17．已知向量，．
(1)若，且，求向量在向量上的投影向量的坐标；
(2)若向量，且，求向量，夹角的余弦值．
18．在锐角中，角所对的边分别是．已知，．
(1)求角；
(2)若是内的一动点，且满足，则是否存在最大值？若存在，请求出最大值及取最大值的条件；若不存在，请说明理由；
(3)若是中上的一点，且满足，求的取值范围．
19．如图，在正三棱柱中，为的中点.
(1)证明：平面.
(2)求异面直线与所成角的余弦值.
(3)在上是否存在点，使得平面平面？若存在，求出的值；若不存在，说明理由.
参考答案
1．【答案】B
【分析】利用复数代数形式的乘法运算化简，再利用复数的模长公式即可求解.
【详解】因为，
所以.
故选B.
2．【答案】B
【分析】判断每个选项中的向量是否共线，即可判断出答案.
【详解】由于是平面内的一个基底，故不共线，
和不共线，故A能构成基底，
和共线，故B不能构成基底，
和不共线，故C能构成基底，
根据向量的加减法法则可知和不共线，故D能构成基底，
故选B.
3．【答案】A
【分析】由已知可知与垂直，结合向量的几何意义，可将向量的模的问题转化为点到线的距