南安一中2024~2025学年度下学期高一年第二次阶段考
数学科试卷
一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.已知复数,为的共轭复数,则(????)
A. B. C. D.
2.已知,,且A,B,C三点共线,则x等于(???)
A. B. C.或 D.1或
3.在△ABC中,cosC=,AC=4,BC=3,则cosB=(????)
A. B. C. D.
4.已知是两条不同的直线,是不同的平面,则下列命题正确的是(????)
A.若,则
B.若,则
C.若,则
D.若是异面直线,,,,,则
5.已知向量,则在上的投影向量为(????)
A. B. C. D.
6.四边形中,,,则下列表示正确的是(????)
A. B.
C. D.
7.如图,是海面上位于东西方向相距海里的两个观测点,现
位于A点北偏东、B点北偏西的D点有一艘船发出求救信号,位于
B点南偏西且与B点相距海里的C点的救援船立即前往营救,其
航行速度为30海里/小时,则该救援船到达D点最快所需时间为(????)
A.0.2小时 B.0.3小时 C.0.5小时 D.1小时
8.将函数的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象,若,都有,则的最小值为(????)
A. B. C. D.
二、多项选择题:本大题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求,全部选对的得6分,有选错的得0分,部分选对的得部分分.
9.下列命题正确的是(????)
A.若为纯虚数,,则
B.若,则
C.若复数满足,则在复平面内对应点的轨迹是以为圆心,2为半径的圆
D.若是关于的方程的根,则
10.在中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,则下列结论正确的是(????)
A.若,,,则有两个解
B.若,则是锐角三角形
C.若,则为等腰三角形
D.若为锐角三角形,则
11.如图,在棱长为的正方体中,分别是的中点,是正方体表面上的动点,则(????)
A.四点共面
B.异面直线与所成角的余弦值为
C.若,则四面体的体积为定值
D.若平面,则点的轨迹长为
三、填空题:本大题共3小题,每小题5分,共15分.将答案填在答题卡的相应位置.
12.如图所示,正方形的边长为,它是水平放置的一个平面图形的直观图,
则原平面图形的周长是_________________.
13.设,,则_________________.
14.在复平面的上半平面内有一个菱形,,点所对应的复数是,则点
所对应的复数为_________________________.
四、解答题:本大题共5小题,共77分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.
15.(13分)已知与的夹角为,且,.
(1)求及;
(2)若与的夹角为,求的值.
16.(15分)如图,一个几何体是由一个正三棱柱内挖去一个倒圆锥组成,该三棱柱的底面正三角形的边长为,高为,圆锥的底面内切于该三棱柱的上底面.
(1)求该几何体的体积;
(2)求该几何体的表面积;
(3)现准备剪一张彩色塑料纸装饰,使其刚好贴合圆锥内壁表面,请画出剪好后的塑料纸展开图,在图中标出所有的长度及角度.
17.(15分)记的内角A、B、C的对边分别为a,b,c,已知,,角B的角平分线交AC于点D
(1)求角B;
(2)若的面积为,求.
18.(17分)在中,为的中点,.
(1)求角;
(2)设.
=1\*GB3①若,求面积的最大值;
=2\*GB3②若外接圆半径为,且,求的周长.
19.(17分)在地球公转过程中,太阳直射点的纬度随时间周而复始不断变化.如图,设地球表面某地正午太阳高度角为,为此时太阳直射点的纬度,为当地的纬度值,那么这三个量满足.某科技小组以某年春分(太阳直射赤道且随后太阳直射点逐渐北移的时间)为初始时间,统计了连续400天太阳直射点的纬度平均值(太阳直射北半球时取正值,太阳直射南半球时取负值),下面是该科技小组的三处观测站成员在春分后第30天测得的当地正午太阳高度角数据.
观测站A
观测站B
观测站C
观测站所在纬度/度
40.0000
23.4393
0.0000
观测站正午太阳高度角/度
61.5649
78.1307
78.4348
太阳直射点的纬度/度
11.5649
11.5652
太阳直射点的纬度平均值/度
(1)请根据数据完成上面的表格;(结果精确到0.0001)
(2)定义从某年春分正午到次年春分正午所经历的时间为一个回归年.设第x天时太阳直射点的纬度平均值为y,该科技小组通过对数据的整理和分析,推断y与x近似满足函数,其中A为北回归线的纬度值,约为23.4393,试估计一个回归年对应的天数;(结果精