山东省青岛市2024-2025学年高一下学期期中学业水平检测
数学试卷
一、单选题
1．在复平面内，复数对应的点的坐标是（????）
A． B． C． D．
2．已知两个单位向量，满足，则在上的投影向量为（????）
A． B． C． D．
3．已知，且与共线，则的值为（????）
A． B． C． D．
4．的内角的对边分别为，若，则（????）
A． B． C． D．
5．某观赏渔场有三个观赏亭，观赏亭位于观赏亭的东北方向且它们之间的距离为，观赏亭位于观赏亭的北偏西方向且它们之间的距离为，则观赏亭与观赏亭之间的距离为（????）
A． B． C． D．
6．要得到函数的图象，只需将的图象（????）
A．向左平移个单位 B．向左平移个单位
C．向右平移个单位 D．向右平移个单位
7．分别以等边三角形每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间作一段圆弧，三段圆弧围成的曲边三角形称为“勒洛三角形”.在如图所示的勒洛三角形中，已知，为上一点，则的最小值为（????）
A． B． C． D．
8．记的外心为点，，若，则（????）
A． B． C． D．
9．函数在一个周期内的图象如图所示，则（????）
A．
B．
C．
D．在区间上单调递减
10．已知，复数满足，则（????）
A． B．
C． D．的最大值为
11．记单位向量的夹角为，若向量，则把有序数对称为向量在“仿射”坐标系（为坐标原点）下的仿射坐标，记，则（????）
A．
B．若，则
C．若，则
D．在上的投影向量为
12．在等腰三角形中，，则向量与的夹角为.
13．已知满足，若，的最小值为，则的面积为.
14．已知，.
(1)求；
(2)若在复平面内对应的向量分别为，且，求实数的值.
15．如图，一个半径为米的筒车按逆时针方向每分钟转圈，筒车轴心距水面的高度为米.设筒车上某个盛水桶到水面的距离为（单位：米）（在水面下则为负数），若以盛水桶刚浮出水面时开始计算时间，则与时间（单位：分钟）之间的关系式为.
(1)求与时间（单位：分钟）之间的关系式；
(2)某时刻（单位：分钟）时，盛水桶在过点竖直直线的左侧，到水面的距离为米，再经过分钟后，求盛水桶到水面的距离.
16．如图，在等边三角形中，，线段与交于点.
(1)求；
(2)求；
(3)若为所在平面内一动点，求的最小值.
17．年，高斯建立了复数相关的某些运算，这使得复数某些运算开始代数化；在复平面内，高斯也将复数看作一种向量，并利用两者在复平面内的关系，解释了复数的几何加法与乘法，丰富了复数理论.记表示实数中的最大者.已知，.
(1)若.求；
(2)证明：；
(3)求的最小值.
三、填空题
18．已知是关于的方程的一个根，则实数．
四、解答题
19．在锐角中，角所对的边分别为，且.
（1）求角的大小；
（2）若，且的面积为，求的周长.
1．B
求出复数的实部、虚部可得答案.
【详解】在复平面内，复数对应的点的坐标是.
故选：B.
2．B
根据数量积的运算律求出，再由投影向量的定义计算可得.
【详解】由单位向量，满足，
所以，解得，
则在上的投影向量为．
故选：B．
3．D
4．C
5．C
6．B
7．B
8．D
9．AC
10．ABD
11．BD
12．；
13．.
14．(1)，
(2)
【详解】解：（1）因为，所以
因为，所以
（2）由题可知，则，
，因为，所以
解得
15．(1)
(2)
【详解】解：（1）由题意知，，因为，所以；因为半径为2米，筒车的轴心距水面的高度为1米，可得，
当时，，代入得，
因为，所以，所以
（2）由题意得，，得
由题意知，所以
所以
所以
答：再经过分钟后，盛水桶到水面的距离为米
16．(1)-1
(2)
(3)
【详解】解：（1）以D为坐标原点，建立如图平面直角坐标系，
由
可得，
由可得：
所以，则
（2）由图可得
（3）设，则
所以
当时取“=”号，
所以得最小值为
17．(1)
(2)证明见解析
(3)或
【详解】解：（1）由题解得：，
所以
所以
（2）设，
所以，
因为，
又因为，
所以
当仅当时等号成立，（用柯西不等式也可证明）
所以
用换，同理可得：，
所以
（3）因为
当且仅当时等号成立，
此时或
18．12
由根与系数的关系即可得到答案.
【详解】设方程的另一个根为，由根与系数的关系：
故答案为：12.
19．（1）；（2）
【详解】由，利用正弦定理得，
因为，所以.
又因为为锐角，所以.
（2）由，所以，
又，即，
则，即.
又，所以.