2024～2025学年度第二学期期中学业水平诊断
高一数学
注意事项：
1.本试题满分150分，考试时间为120分钟.
2.答卷前，务必将姓名和准考证号填涂在答题纸上.
3.使用答题纸时，必须使用0.5毫米的黑色签字笔书写，要字迹工整，笔迹清晰；超出答题区书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.
1.已知复数z满足，则z的虚部为（）
A. B. C. D.
【答案】B
【详解】设，
由，得，
所以，即，解得
所以，所以复数的虚部为.
故选：B.
2.若，则（）
A. B. C. D.
【答案】B
【详解】由，
因为，所以上式，
故选：B.
3.在平面直角坐标系中，已知，则向量在上的投影向量为（）
A. B.
C. D.
【答案】C
【详解】由已知得：
根据在投影向量公式可得：，
故选：C.
4.在中，，M是AN上一点，且，则实数的值为（）
A. B. C. D.
【答案】D
【详解】因为三点共线，设，
又因为，
可得
，
因为，可得，可得.
故选：D.
5.斜拉桥（如图1）是我国常见的桥型之一，是由许多斜拉索直接连接到主塔吊起桥面形成的一种桥梁.已知主塔AB垂直于桥面，斜拉索AD，AC与桥面所成角（如图2），主塔AB的高度为h，则间的距离为（）
A. B.
C. D.
【答案】A
【详解】在中，，
在中，，
所以
，
故选：A．
6.若函数在上的最小值为，则t的最大值为（）
A. B. C. D.
【答案】D
【详解】由，可得，
因为，
要使得上最小值为，则满足，
解得，所以，所以的最大值为.
故选：D.
7.若，则（）
A. B. C. D.
【答案】C
【详解】由题得，
所以，
整理得，解得或（舍），
所以，
故选：C．
8.的内角的对边分别为，已知，且，边上的中线相交于点P，且，则四边形的面积为（）
A.1 B. C.2 D.
【答案】D
【详解】由，结合正弦定理边化角得：，
因为，所以上式化为，再由内角和为可化为，
利用三角恒等变形得：，因为，所以，
即上式变形为，又因为，所以，
再由余弦定理得：
即，解得，
可得或，因为，所以，
则的面积为，
因为边上的中线相交于点P，所以点P是的重心，
即，，
由，所以，
即四边形的面积为，
故选：D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.下列说法正确的有（）
A.若向量满足且，则
B.对于任意向量，都有
C.对于任意向量，都有
D.若向量共线，则存在实数，使得
【答案】BC
【详解】对于A，若，则，
若，则，显然，故A错误；
对于B，，因为，所以，
所以，故B正确；
对于C，根据向量三角不等式，，故C正确；
对于D，若，则不存在实数，使得，故D错误；
故选：BC．
10.函数的部分图象如图所示，则（）
A.函数图象关于点对称
B.函数在上单调递减
C.函数在上恰有6个零点
D.若，在上有n个不同的解，则
【答案】ABD
【详解】
由图象可得：，
因为，由，可得，
所以，再代入最高点可得：
，即
因为，所以，即，
对于A，当时，，故A正确；
对于B，当，则，满足正弦函数的递减区间，故B正确；
对于C，当，则，根据正弦函数在该区间内有个零点，故C错误；
对于D，当，作图分析可知;
方程在上存在四个解，可知它们分别关于直线对称，
即有所以有
即故D正确；
故选：ABD.
11.已知的面积为S，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则下列说法正确的有（）
A. B.若，则
C.若，则 D.的最小值为
【答案】ACD
【详解】对于A中，由余弦定理得，
因为，可得和，可得，
又由正弦定理，可得，即，
所以，所以A正确；
对于B中，由，
可得，解得，
因为，所以或，所以B不正确；
对于C中，由，且，可得，所以，
因为，由正弦定理，可得，
又由，
所以的面积为，所以C正确；
对于D中，由，可得
可得，
则，
当且仅当时，即时，即，等号成立，所以D正确.
故选：ACD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.已知向量，且，则_________．
【答案】
【详解】因为，所以，解得，
所以，则，
故答案为：．
13.已知，则_________.
【答案】
【详解】由，可得，
因，可得，
又由
.
故答案为：.
14.如图，在四边形ABCD中，，，设.①当时，BF的长