江苏省徐州市2024-2025学年高二下学期期中考试
数学试题
一、单选题
1．函数在[0，π]上的平均变化率为
A．1 B．2 C．π D．
2．已知函数上一点，则在点P处切线的斜率为（????）
A． B． C．1 D．
3．已知是一个随机试验中的两个事件，且，则（????）
A． B． C． D．
4．已知随机变量X的概率分布如表所示，且，则（????）
X
1
2
3
P
n
m
A． B． C． D．
5．甲、乙两人向同一目标各射击1次，已知甲命中目标的概率为，乙命中目标的概率为，已知目标至少被命中1次，则甲命中目标的概率为（????）
A． B． C． D．
6．已知是定义在上的奇函数，若对于任意的，都有成立，且，则不等式解集为（????）
A． B．
C． D．
7．某校有5名学生打算前往观看电影《哪吒2》，《战狼》，《流浪地球2》，每场电影至少有1名学生且至多2名学生前往，则甲同学不去观看电影《哪吒2》的方案种数有（????）
A．30 B．45 C．60 D．75
8．以罗尔中值定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理为主体的“中值定理”反映函数与导数之间的重要联系，是微积分学重要的理论基础，其中拉格朗日中值定理是“中值定理”的核心，其内容如下：如果函数在闭区间上连续，在开区间内可导，则内至少存在一个点，使得，其中称为函数在闭区间上的“中值点”．请问函数在区间上的“中值点”的个数为（????）
A．0 B．1 C．2 D．3
二、多选题
9．下列函数的导数运算正确的是（????）
A． B．
C． D．
10．已知，其中，则（????）
A． B．
C． D．
11．数学家棣莫弗发现，如果随机变量X服从二项分布，那么当n比较大时，X近似服从正态分布，其密度函数为，任意正态分布，可通过变换转化为标准正态分布当时，对任意实数x，记，则（????）
A．当时，
B．
C．随机变量，当，都减小时，概率增大
D．随机变量，当增大，减小时，概率保持不变
三、填空题
12．已知随机变量，若，，则.
13．在如图所示的圆环形花园种花，将圆环平均分成A，B，C，D四个区域，现有牡丹、芍药、月季、玫瑰、蝴蝶兰五种花可供选择，要求每个区域只种一种花且相邻区域的花不同，则不同的种植方法有种．
14．若恒成立，则实数．
四、解答题
15．已知的展开式中共有11项．
(1)求展开式中含的项的系数；结果用数字作答
(2)求二项式系数最大的项．
16．结合排列组合，解决下列问题结果用数字作答
(1)将4封不同的信放到3个不同的信箱中，有多少种放法？
(2)将4封不同的信放到3个不同的信箱中，每个信箱至少有一封信，有多少种放法？
(3)将4封标有序号A，B，C，D的信放到四个标有A，B，C，D的信箱中，恰有一组序号相同，则有多少种放法？
17．已知函数
(1)若，求函数的单调区间和极值；
(2)若存在，使得成立，求a的取值范围．
18．11分制乒乓球比赛规则如下：在一局比赛中，每两球交换发球权，每赢一球得1分，先得11分且至少2分领先者胜，该局比赛结束；当某局比分打成10：10后，每一球交换发球权，领先2分者胜，该局比赛结束．现有甲、乙两人进行一场五局三胜且每局制的乒乓球比赛，比赛开始前通过抛掷一枚质地均匀的硬币来确定谁先发球．假设甲发球时甲得分的概率为，乙发球时乙得分的概率为，各球的比赛结果相互独立，且各局的比赛结果也相互独立．已知第一局目前比分为10：10，且接下来轮到甲发球．
(1)求再打两个球甲新增的得分X的分布列和均值；
(2)求第一局比赛甲获胜的概率；
(3)现用估计每局比赛甲获胜的概率，求该场比赛甲获胜的概率．
19．若定义在上的函数和分别存在导函数和，且对任意实数，都存在常数，使成立，则称函数是函数的“控制函数”，称为控制系数．
(1)求证：函数是函数的“控制函数”；
(2)若函数是函数的“控制函数”，求控制系数的取值范围；
(3)若函数，函数为偶函数，函数是函数的“控制函数”，求证：“”的充要条件是“存在常数，使得恒成立”．
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
C
B
D
B
C
D
C
C
AD
ACD
题号
11
答案
BD
1．C
根据平均变化率的公式，计算出平均变化率.
【详解】平均变化率为.
故选：C
2．B
求导函数，把点的横坐标代入导函数即可求解．
【详解】由，
可得，
故在点P处切线的斜率为
故选：B
3．D
利用条件概率公式的变式公式和对立事件的概率计算，就可以求出结果.
【详解】因为，由对立事件概率计算公式可得：，
则，
故选：D.
4．B
利用分布列的性质以及期望公式列方程组即可求解