河南省焦作市普通高中2024-2025学年高二下学期期中考试
数学试卷
一、单选题
1．已知复数满足，则（????）
A． B． C． D．
2．已知函数，则（????）
A． B． C． D．
3．的展开式中常数项为（????）
A． B． C． D．
4．记为等差数列的前n项和，已知，，则（????）
A．2 B．1 C． D．0
5．已知底面半径为1的圆锥的体积为，则该圆锥的侧面积为（????）
A． B． C． D．
6．已知是数列的前n项和，，则（????）
A．2575 B．3435 C．4345 D．5135
7．若函数在时取得极大值0，则（????）
A． B．或 C． D．
8．已知是椭圆的左焦点，经过坐标原点的直线与交于两点，若，则（????）
A． B． C． D．
二、多选题
9．已知函数，则（????）
A．是的周期
B．在区间上单调递减
C．是奇函数
D．在区间上恰有2个零点
10．已知数列的通项公式是，前项和为，则（????）
A．数列是等差数列
B．存在，使得成立
C．当时，最大
D．数列的最大值为
11．已知关于x的不等式对任意恒成立，则实数k的可能取值为（????）
A． B． C．e D．2e
三、填空题
12．函数的图象在点处的切线方程为.
13．已知非零向量，满足，且在上的投影向量为，则向量，的夹角.
14．已知，分别是双曲线的左、右焦点，过点的直线与C的右支交于A，B两点，若，，则C的离心率为.
四、解答题
15．已知等差数列的前n项和为，，.
(1)求的通项公式；
(2)已知，求数列的前n项和.
16．记为数列的前n项和，，.
(1)求的通项公式；
(2)若，求数列的前n项和.
17．已知函数.
(1)讨论的单调性；
(2)当时，求证：.
18．如图，在三棱锥中，P，Q分别是，的中点，，.
??
(1)证明：平面平面；
(2)求直线与平面所成角的正弦值；
(3)求三棱锥的外接球的表面积.
19．已知函数的定义域为，数列满足，若存在数列满足，，且，则称为关于的对称数列.
(1)若，，求数列关于的一个对称数列；
(2)已知函数，数列为数列关于的对称数列，且，，证明：；
(3)已知函数，数列为数列关于的对称数列，证明：.
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
D
A
B
B
D
B
C
C
ACD
ABD
题号
11
答案
BCD
1．D
由条件，结合复数运算法则求再根据共轭复数求.
【详解】??由题可知，∴.
故选：D.
2．A
求出，再代入计算即可.
【详解】因为，
所以，
所以.
故选：A.
3．B
写出二项展开式通项，令的指数为零，求出参数的值，再代入通项即可得解.
【详解】的展开式的通项为，
令，得，所以常数项为．
故选：B．
4．B
根据等差数列通项的基本量以及前项和的计算即可求解.
【详解】设数列的公差为d，因为，所以，
所以.
故选：B.
5．D
应用圆锥的体积公式列方程求高，进而求母线长，再应用圆锥侧面积公式求侧面积.
【详解】设该圆锥的高、母线长分别为h，l，由题知，则，
所以，则该圆锥的侧面积.
故选：D
6．B
根据已知，应用分组求和、等比数列前n项和公式求.
【详解】由题知
.
故选：B
7．C
利用导数求函数的极值即可.
【详解】由题知，，
由在时取得极大值，∴，解得或，
经检验，当时，，
由，，所以在上单调递减；
由，，所以在上单调递增；
此时在时取得极大值，满足题意，故，
当时，，则在上单调递增，不符合题意，故舍去；
∴，将代入，解得，
所以.
故选：C.
8．C
根据椭圆定义求出，后，再利用余弦定理解三角形计算即可求解.
【详解】设为的右焦点，连接，，如图，则四边形为平行四边形，
∴，由椭圆定义知，，
∴，.
在中，，
∴.
在中，.
??
故选：C.
9．ACD
本题考查余弦型函数的图象与性质，由题可知，所以可知，再根据解析式逐项分析即可.
【详解】由题知，，所以最小正周期，故A正确；
当时，，令，则在区间上单调递减，在区间上单调递增，故在区间上先减后增，故B错误；
为奇函数.故C正确；
令，得，，∴，，当时，，当时，，均是在区间上的零点，故D正确.
故选：ACD.
10．ABD
利用等差数列的定义可判断A选项；取可判断B选项；分析可知当时，，当时，，可判断C选项；化简的表达式，结合二次函数的基本性质可判断D选项.
【详解】∵，∴，
，
则为等差数列，故A正确；
∵，，∴，故B正确；
∵当时，，当时，，∴当时，最大，故C错误；
∵，
，，
∴当时，，当或时，，
的最大值为，故D正确.
故选：ABD.
11．BCD
分情况讨论函数