2023年湖南省普通高中学业水平合格性考试
数学
时量90分钟.满分100分.
一、选择题：本大题共18小题，每小题3分，共54分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合，，则（）
A. B. C. D.
2.命题“，”的否定是（）
A.， B.，
C.， D.，
3.某中学高二年级从甲、乙两个红色教育基地和丙、丁两个劳动实践基地中选择一个进行研学，则选择红色教育基地的概率是（）
A. B. C. D.
4.函数定义域是（）
A. B. C. D.
5.已知i为虚数单位，则（）
A. B. C. D.
6.垂直于同一平面两条直线（）
A.平行 B.垂直 C.相交 D.异面
7.如图，在正方体中，异面直线AC与所成的角为（）
A. B. C. D.
8.设角的终边与单位圆的交点坐标为，则（）
A. B. C. D.1
9.下列命题为真命题的是（）
A.若，则 B.若，则
C.若，，则 D.若，，则
10.下列函数中，最小正周期为的偶函数是（）
A. B. C. D.
11.设p：四棱柱是正方体，q：四棱柱是长方体，则p是q的（）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
12.已知，则的最大值为（）
A B.1 C. D.2
13.在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若，，，则（）
A. B. C. D.
14.在中，D为BC的中点，设，，则（）
A. B. C. D.
15.函数在一个周期内的大致图象是（）
A.B.C. D.
16.某中学有男生600人，女生400人.为了调查学生身高情况，按性别进行分层，用分层随机抽样的方法抽取一个容量为10的样本，样本按比例分配，得到男生、女生的平均身高分别为170cm和160cm.用样本估计总体，则该校学生的平均身高是（）
A.162cm B.164cm C.166cm D.168cm
17.设，，，则（）
A. B. C. D.
18.为了预防流感，某学校对教室采用药熏消毒法进行消毒.已知在药熏过程中，室内每立方米空气中的含药量y（单位：mg）与时间t（单位：h）的关系如图所示，函数关系式为（a为常数）.据测定，当室内每立方米空气中的含药量降到0.25mg以下时，学生方可进教室.从药熏开始，至少经过小时后，学生才能回到教室，则（）
A.， B.，
C.， D.，
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.
19.已知函数（，且）的图象过点，则______.
20.已知向量，，则______.
21.为了解中学生体育锻炼情况，现从某学校随机抽取了部分学生，对他们每天的体育锻炼时间进行统计分析，得到如图所示的频率分布直方图，估计该校学生每天的体育锻炼时间的众数是______分钟.
22.中国传统文化中很多内容体现了数学的对称美、和谐美，如图所示的太极图.定义：若函数的图象是一条连续不断的曲线，且该曲线同时平分圆的周长和面积，则称函数为该圆的“完美函数”.写出圆心在坐标原点的圆的一个“完美函数”______.
三、解答题：本大题共3小题，共30分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
23.如图，P为圆锥的顶点，O为底面圆的圆心，AC为底面圆的直径，B是底面圆周上不同于A，C的任意一点，点D，E分别为母线PB，PC的中点.
（1）求证：平面ABC；
（2）若，，求圆锥PO的体积.
24.自2018年国家实施乡村振兴战略以来，农村电商行业蓬勃发展，规模不断扩大.农村电商畅通了农产品进城渠道，加速推进了农业数字化.图1为我国2018年至2022年农村电商行业农产品网络零售额的变化情况，图2为A市2022年农产品网络零售量占比扇形图.
（1）请根据图1简要描述我国2018年至2022年农产品网络零售额的变化趋势；
（2）从A市2022年网络零售农产品中随机抽取一件，估计抽取产品是粮油或茶叶的概率；
（3）已知某农产品带货主播每天零售额超过1万元的概率为0.6，假定每天的销售情况互不影响，求该主播任意两天中至少有一天零售额超过1万元的概率.
25.已知函数，.
（1）写出函数的单调区间；
（2）求函数的最大值；
（3）求证：方程有唯一实根，且.
2023年湖南省普通高中学业水平合格性考试
数学
时量90分钟.满分100分.
一