第四讲数列求和

1.掌握等差、等比数列的前n项和公式.2.掌握特殊的非等差、等比数列的几种常见的求和方法.

1.公式法

2.几种数列求和的常用方法(1)分组求和法 一个数列的通项公式是由若干个等差或等比或可求和的数列组成的，则求和时可用分组求和法，分别求和而后相加减.(2)裂项相消法把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消(注意消项规律)，从而求得前n项和.

(3)错位相减法 如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么求这个数列的前n项和即可用错位相减法求解.(4)倒序相加法 如果一个数列{an}与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n项和即可用倒序相加法求解.

(5)并项求和法一个数列的前n项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和.形如an＝(－1)nf(n)类型，可采用两项合并求解.

考点一分组转化法求和

解：(1)依题意，Sn＝2an－1，当n＝1时，a1＝2a1－1，得a1＝1；当n≥2时，由Sn＝2an－1，得Sn－1＝2an－1－1，两式作差，得an＝Sn－Sn－1＝2an－2an－1，∴an＝2an－1(n≥2)，∴数列{an}是首项为1，公比为2的等比数列，∴an＝2n-1(n∈N*).

【题后反思】

【变式训练】(2024年河北唐山一模)已知数列{an}是正项等比数列，其前n项和为Sn，且a2a4＝16，S5＝S3＋24.(1)求{an}的通项公式；(2)记{an＋log2an}的前n项和为Tn，求满足Tn＜2024的最大整数n.

考点二裂项相消法求和

【题后反思】裂项相消法求数列{an}的前n项和的基本步骤

【变式训练】

考点三错位相减法求和

解：(1)已知数列{an}满足{an＋1－an}为等差数列，又a1＝1，a2＝2，a3＝4，a4＝7，则a2－a1＝1，a3－a2＝2，a4－a3＝3.即数列{an＋1－an}是以1为首项，1为公差的等差数列.∴an＋1－an＝1＋(n－1)×1＝n.∴an－an－1＝n－1，

【题后反思】错位相减求和方法(1)适用条件：若{an}是公差为d(d≠0)的等差数列，{bn}是公比为q(q≠1)的等比数列，求数列{anbn}的前n项和Sn.

(2)基本步骤

(3)注意事项：①在写出Sn与qSn的表达式时，应特别注意将两式“错位对齐”，以便下一步准确写出Sn－qSn；②作差后，等式右边有第一项、中间n－1项的和式、最后一项三部分组成；③运算时，经常把b2＋b3＋…＋bn这n－1项和看成n项和，把－anbn＋1写成＋anbn＋1导致错误.

【变式训练】(2024年全国甲卷理科)已知数列{an}的前n项和为Sn，且4Sn＝3an＋4.(1)求{an}的通项公式；(2)设bn＝(－1)n-1nan，求数列{bn}的前n项和Tn.

解：(1)∵4Sn＝3an＋4，①∴4Sn＋1＝3an＋1＋4，②②－①，得4an＋1＝3an＋1－3an，即an＋1＝－3an，又∵4S1＝3a1＋4，∴a1＝4，故数列{an}是以首项为4，公比为－3的等比数列，∴an＝4·(－3)n-1.

考点四并项法求和

【题后反思】(1)用并项求和法求数列的前n项和一般是指把数列的一些项合并组成我们熟悉的等差数列或等比数列来求和.可用并项求和法的常见类型：一是数列的通项公式中含有绝对值符号；二是数列的通项公式中含有符号因子“(－1)n”；三是数列{an}是周期数列.

【变式训练】