黑龙江省哈尔滨市东方红中学校2023?2024学年高一下学期期末考试数学试卷
一、单选题（本大题共8小题）
1．复数（其中为虚数单位），则在复平面内对应的点位于（????）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．冰嘎别名冰尜，是东北民间少年儿童游艺品，俗称“陀螺”，通常以木镟之，大小不一，一般径寸余，上端为圆柱形，下端为锥形（如图①）.如图②所示的是一个陀螺立体结构图，已知，分别是上、下底面圆的圆心，，，底面圆的半径为，则该陀螺的体积为（????）
A． B． C． D．
3．已知向量，满足，，，则（????）
A．3 B． C．6 D．
4．已知的内角的对边分别为，，，，，下面使得有两组解的的值可以为（????）
A．3 B． C．2 D．
5．如图，正六边形的边长为，半径为1的圆的圆心为正六边形的中心，若点在正六边形的边上运动，动点，在圆上运动且关于圆心对称，则的取值范围为（????）
A． B． C． D．
6．若角的终边经过点，则（????）
A． B． C． D．
7．古代数学家刘徽编撰的《重差》是中国最早的一部测量学著作，也为地图学提供了数学基础.现根据刘徽的《重差》测量一个球体建筑物的高度，如图，已知点是球体建筑物与水平地面的接触点（切点），地面上，两点与点在一条直线上，且在点的同侧，若在，处分别测得球体建筑物的最大仰角为和，且，则该球体建筑物的最高点距离地面为（????）
A． B． C． D．
8．已知三棱锥的四个顶点均在同一球面上，，，且三棱锥体积的最大值为，则该球的表面积为（????）
A． B． C． D．
二、多选题（本大题共3小题）
9．下列说法正确的是（????）
A．已知复数满足，为虚数单位，则是方程的一个根
B．已知，，则
C．有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形的多面体是棱柱
D．
10．已知函数，且在上有且仅有5个零点，则（????）
A．的取值范围是 B．的图象在上最多有5条对称轴
C．的图象在上有3个最大值点 D．在上单调递增
11．如图，已知圆锥的底面圆心为，半径，圆锥的体积为，内切球的球心为，则下列说法正确的是（????）
????
A．侧面积为
B．内切球的表面积为
C．过点作平面截圆锥的截面面积的最大值为
D．设母线中点为，从点沿圆锥表面到的最近路线长为
三、填空题（本大题共3小题）
12．如图，四边形的斜二测画法直观图为等腰梯形，已知，，则四边形的周长为．
13．在锐角三角形中，，若，则的取值范围是.
14．已知平面向量，，且，，向量满足，则取最小值时，.
四、解答题（本大题共5小题）
15．图①是一块正四棱台的铁料，上、下底面的边长分别为和，，分别是上、下底面的中心，棱台高.
(1)求正四棱台的表面积；
(2)若将这块铁料最大限度地打磨为一个圆台（如图②），求削去部分与圆台的体积之比.
16．在中，点，是所在平面内的两点，，，，，.
（1）以，为基底表示向量，并求；
（2）为直线上的一点，设（，是实数），若直线经过的垂心，求，的值.
17．已知的内角，，的对边分别为，，，且.
(1)求；
(2)若的面积为.
①已知为的中点，求的最小值；
②求内角的平分线的最大值.
18．设，其中.
(1)若的最小正周期为，求的值；
(2)若对任意，恒有，求的取值范围.
19．数学中有很多相似的问题，
材料一：十七世纪法国数学家，被誉为业余数学家之王的皮埃尔·德·费马提出了一个著名的几何问题：“已知一个三角形，求作一点，使其与这个三角形的三个顶点的距离之和最小”，他的答案是：“当三角形的三个内角均小于时，所求的点为三角形的正等角中心，即该点与三角形的三个顶点的连线两两成角，当三角形有一内角大于或等于时，所求点为三角形最大内角的顶点”，在费马问题中所求的点称为费马点.
材料二：布洛卡点，也叫“勃罗卡点”，定义为：已知内一点满足，则称为的布洛卡点，为的布洛卡角，1875年，三角形的这一特殊点，被一个数学爱好者——法国军官布洛卡重新发现，并用他的名字命名.
已知，，分别是的内角，，的对边，且.
(1)求；
(2)若为的费马点，且，求的值；
(3)若为锐角三角形，为的布洛卡点，为的布洛卡角，证明：.
参考答案
1．【答案】D
【分析】根据复数代数形式的除法运算化简，再根据复数的几何意义判断即可.
【详解】因为，
所以在复平面内对应的点为，位于第四象限.
故选D.
2．【答案】A
【分析】根据圆柱以及圆锥的体积公式，即可求得答案.
【详解】由题意可知圆柱的高为，
故该陀螺的体积为.
故选A.
3．【答案】C
【分析】根据数量积的运算律求出，再由及数量积的运算律计算可得.
【详解】因为，，