河北省张家口京源高级中学2023?2024学年高一下学期期末考试数学试题
一、单选题（本大题共8小题）
1．复数的虚部为（????）
A． B． C．1 D．i
2．下列命题正确的有（????）
①钝角是第二象限角
②若为锐角，则是第一或第二象限角
③终边落在直线上的角的集合可表示为
④若为钝角，则
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
3．已知，则（????）
A． B． C． D．3
4．已知平面向量，若，则（????）
A． B．-2 C．2 D．12
5．已知三棱锥中，，作平面ABC，垂足为，则为的（????）
A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心
6．某时间段公路上车速的频率分布直方图如图所示，则（????）
??
A． B．车速的众数估计值是70
C．车速的平均数估计值大于其中位数的估计值 D．车速的中位数估计值是62.5
7．若分别以锐角三边所在的直线为轴，旋转得到几何体的体积分别是，且，则最大内角的余弦值为（????）
A．624 B． C． D．
8．已知圆锥的顶点为，母线长为1，其侧面展开图扇形的圆心角为，设该圆锥外接球半径为，内切球半径为，则（????）
A． B． C． D．
二、多选题（本大题共3小题）
9．下列命题正确的有（????）
A．一组数据分别是82，84，86，88，95，96，94，则该组数据的上四分位数是96
B．对立事件一定是互斥事件，互斥事件不一定是对立事件
C．不可能事件与任意事件相互独立
D．若事件A，B独立，则
10．已知函数（其中）的部分图象如下图，则（????）
A．可能为
B．若将函数图象向右平移得到，则为偶函数
C．的解析式可能为
D．在上的值域为
11．已知A，B，C，D是八分之一球表面上的不同四点，M，N，K分别在线段OD，OB，OA上，四边形CMNK为矩形，，记，则（????）
A． B．
C． D．
三、填空题（本大题共3小题）
12．已知，关于的方程的一个虚根为，则在复数范围内，方程的根为.
13．为了解某高中学校暑假学生学习情况，采用分层抽样对该校高中三个年级学生平均每天学习时间（单位：小时）进行统计，得到样本数据如下：
年级
抽样人数
样本平均值
样本方差
高一
30
3
1.5
高二
30
4
2
高三
40
5
3.5
根据上述数据，估计该校三个年级学生平均每天学习时间的方差为．
14．在锐角中，角的对边分别是，若，则的取值范围为．
四、解答题（本大题共5小题）
15．在中，是边BC的中点，是边AC上靠近点的三等分点，AM与BN交于点.
(1)求；
(2)求的余弦值.
16．已知函数的最小正周期．
(1)求函数的单调递增区间；
(2)当时，讨论方程根的个数．
17．如图所示，正方形ABCD的边长为2，点是正方形的中心，点E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA四边的中点．现在以为起点，再从A，E，B，F，C，G，D，H中任取两点分别为终点得到两个向量，不妨分别记为和．
(1)请直接写出的所有可能值组成的集合；
(2)在的所有值中，你觉得哪一个值发生的可能性最大，并说明理由．
18．记的内角所对的边分别是，且满足．
(1)证明：；
(2)若为锐角，点为边BC上一点，AM平分，且，，求的值．
19．如图，在四棱锥中，底面ABCD是边长为2的菱形，平面ABCD，平面平面，平面平面.
(1)证明：；
(2)证明：平面；
(3)当MA为何值时，二面角的余弦值为．
参考答案
1．【答案】C
【分析】根据复数代数形式的除法运算化简，再根据复数的乘方化简复数，从而得到其虚部.
【详解】因为，又，，，
所以，
所以，所以的虚部为.
故选C.
2．【答案】B
【分析】对于①，根据钝角的范围即可判断；对于②，举特例即可判断；对于③，根据终边相同角的表示即可判断；对于④，利用诱导公式即可判断.
【详解】对于①：钝角的范围为，其为第二象限角，故①正确；
对于②：当，则，其既不是第一象限也不是第二象限角，故②错误；
对于③：终边在直线上的角的集合可表示，故③错误；
对于④：，故④错误.
综上，正确的个数为1.
故选B.
3．【答案】D
【分析】根据给定条件，求出，再利用正余弦齐次式法求解即得.
【详解】由，得，解得，
所以.
故选D.
4．【答案】C
【分析】由，列方程可求出，再由，列方程可求出，即可求得.
【详解】因为，所以，解得，
因为，所以，解得，
所以.
故选C.
5．【答案】D
【分析】根据给定条件，利用线面垂直的判定性质推理即可得解.
【详解】连接，由平面，平面，得，又，
平面，则平面，又平面，
所以，同理，所以为的垂心.
故选D.
6．【答案】D
【分析】利用频率分布直方图求出、众