河北省优质高中2023?2024学年高一下学期期末质量检测数学试卷
一、单选题（本大题共8小题）
1．设全集，集合满足，则（????）
A． B． C． D．
2．已知，则“”是“”的（????）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
3．为实现乡村生态振兴，走乡村绿色发展之路，乡政府采用按比例分层抽样的方式从甲村和乙村抽取部分村民参与环保调研，已知甲村和乙村的人数之比是，被抽到的参与环保调研的村民中，甲村的人数比乙村多8人，则参加调研的总人数是（????）
A．28 B．42 C．56 D．70
4．已知是夹角为的单位向量，则在方向上的投影向量为（????）
A． B． C． D．
5．下列结论正确的是（????）
A．空间三点可以唯一确定一个平面
B．如果一个平面内有无数条直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行
C．若平面平面，且，则平面内的直线必垂直于平面内的任意一条直线
D．已知平面和直线m，则内至少有一条直线与m垂直
6．已知，则（????）
A． B． C． D．
7．下列说法正确的是（????）
A．互斥的事件一定是对立事件，对立事件不一定是互斥事件
B．若，则事件A与事件B是对立事件
C．从长度为1，3，5，7，9的5条线段中任取3条，则这三条线段能构成一个三角形的概率为
D．事件A与事件B中至少有一个发生的概率不一定比A与B中恰有一个发生的概率大
8．十七世纪法国数学家、被誉为业余数学家之王的皮埃尔·德·费马提出一个著名的几何问题：已知一个三角形，求作一点，使其与这个三角形的三个顶点的距离之和最小．其答案如下：当三角形的三个角均小于时，所求的点为三角形的正等角中心，即该点与三角形三个顶点的连线两两成角；当三角形有一内角大于或等于时，所求的点为三角形最大内角的顶点．在费马问题中所求的点被称为费马点．已知a，b，c分别是的内角A，B，C所对的边，且，若P为的费马点，则（????）
A． B． C． D．
二、多选题（本大题共3小题）
9．若复数z满足（其中为虚数单位），则下列说法正确的是（????）
A．z在复平面内对应的点位于第四象限
B．（是z的共轭复数）
C．
D．若，则的最大值为
10．如图，在中，，为线段的中点，，为线段的中点，为线段上的动点，则下列结论正确的是（????）
A．若为线段的中点，则
B．若为线段的中点，则
C．
D．的取值范围为
11．六氟化硫，化学式为，在常压下是一种无色、无臭、无毒、不燃的稳定气体，有良好的绝缘性，在电器工业方面具有广泛用途．六氟化硫分子结构为正八面体结构（八面体每个面都是正三角形，可以看作是将两个棱长均相等的正四棱锥将底面粘接在一起的几何体）．如图所示，正八面体的棱长为a，则下列说法中正确的是（????）
A．此八面体的表面积为
B．异面直线AE与BF所成的角为
C．若点P为棱EB上的动点，则的最小值为
D．此八面体的外接球与内切球的体积之比为
三、填空题（本大题共3小题）
12．已知函数则．
13．已知，且，则的最小值为．
14．我们知道，函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是“函数为奇函数”．易知为奇函数，则的图象的对称中心为；的解集为．
四、解答题（本大题共5小题）
15．已知函数．
(1)求的最小正周期；
(2)当时，求的值域．
16．已知向量．
(1)若，求实数的值；
(2)若与的夹角为钝角，求实数k的取值范围．
17．2023年以来，河北省文化和旅游厅制定出台推动文旅市场恢复振兴的系列措施，以丰富的旅游业态和高品质的文旅服务不断提升游客出游体验，促进文旅消费增长的同时，也使“这么近，那么美，周末到河北”成为休闲度假新时尚．现为进一步发展河北文旅，提升河北经济，在5月份对来冀旅游的部分游客发起满意度调查，从饮食、住宿、交通、服务等方面调查旅客满意度，满意度采用百分制，统计的综合满意度绘制成如下频率分布直方图，图中．
(1)求图中a的值并估计满意度得分的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；
(2)若有超过的人满意度在75分及以上，则认为该月文旅成绩合格．河北省5月份文旅成绩合格了吗?
(3)河北文旅6月份继续对来冀旅游的游客发起满意度调查，采用样本量比例分配的分层随机抽样，现知6月1日-6月15日调查的4万份数据中其满意度的平均值为80，方差为75；6月16日-6月30日调查的6万份数据中满意度的平均值为90，方差为70．由这些数据计算6月份的总样本的平均数与方差．
18．《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥