广东省汕尾市部分学校2023?2024学年高一下学期6月月考数学试卷
一、单选题（本大题共8小题）
1．已知复数，满足，则（????）
A．1 B． C．2 D．
2．若，则函数有（????）
A．最小值1 B．最大值1 C．最小值 D．最大值
3．函数若对任意，（），都有成立，则实数a的取值范围为（????）
A． B． C． D．
4．已知非零向量，满足，且向量在向量上的投影向量是，则与的夹角是（????）
A． B． C． D．
5．在中，，且的面积为，则角的大小为（????）
A． B． C．或 D．或
6．已知正四棱锥的底面积为64，侧棱长，则该四棱锥的高为（????）
A． B． C．8 D．
7．某公司为了调查员工的健康状况，由于女员工所占比重大，按性别分层，用按比例分配的分层随机抽样的方法抽取样本，已知所抽取的所有员工的体重的方差为120，女员工的平均体重为，标准差为6，男员工的平均体重为，标准差为4.若样本中有21名男员工，则女员工的人数为（????）
A．28 B．35 C．39 D．48
8．在四棱锥中，底面是边长为3的正方形，，平面平面，且该四棱锥的各个顶点均在球的表面上，则球的表面积为（????）
A． B． C． D．
二、多选题（本大题共3小题）
9．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，则下列结论正确的是（????）
A．若，则一定是钝角三角形
B．若，，则有两解
C．若，则为等腰三角形
D．若为锐角三角形，则
10．已知平面向量，则下列说法正确的有（????）
A．一定可以作为一个基底
B．一定有最小值
C．一定存在一个实数使得
D．的夹角的取值范围是
11．如图，棱长为2的正方体的外接球的球心为O，E、F分别为棱AB、的中点，G在棱BC上，则（????）
A．对于任意点G，平面EFG
B．存在点G，使得平面EFG
C．直线EF被球O截得的弦长为
D．过直线EF的平面截球O所得的截面圆面积的最小值为
三、填空题（本大题共3小题）
12．已知函数，（其中，为常数，且）有且仅有3个零点，则的值为，的取值范围是．
13．已知向量满足，则．
14．在三棱锥中，，其余棱长均相等，，分别为AB，PC的中点，垂直于的一个平面分别交棱PA，PB，CB，CA于E，F，G，H四点，则四边形EFGH的面积的最大值为．
四、解答题（本大题共5小题）
15．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且的面积为．
(1)求角B的大小；
(2)若，，是的一条中线，求线段的长．
16．设为常数，函数．
(1)设，求函数的严格增区间；
(2)若函数为偶函数，求此函数在上的值域．
17．如图，已知三棱柱的侧棱垂直于底面，，，点，分别为和的中点．
(1)证明：平面；
(2)设，当为何值时，平面？试证明你的结论．
18．如图，在四棱锥中，底面为矩形，底面，，分别为的中点.
(1)求证：平面；
(2)设，求与平面所成角的正弦值.
19．已知函数
(1)判断函数的奇偶性；
(2)证明：函数在区间上单调递增；
(3)令（其中），求函数的值域.
参考答案
1．【答案】B
【分析】首先分析题意，设出复数，求出复数的模找变量之间的关系，整体代入求解即可.
【详解】设则，
所以，，即，
则
故选B.
2．【答案】D
【分析】由题意，，，利用基本不等式求解.
【详解】因为，所以，
.
当且仅当，即时等号成立，
所以函数有最大值.
故选D.
3．【答案】A
【详解】因为对任意，（），都有成立，所以是减函数，
则解得.故选A.
【易错警示】分段函数的单调性，除了满足在每一段上都单调之外，还要保证端点值符合单调性的要求.
4．【答案】A
【分析】根据，可得，结合数量积的运算律可得的关系，再根据投影向量的公式即可得解.
【详解】因为，
所以，
所以，
因为向量在向量上的投影向量是，
所以，
即，所以，
又因为，
所以与的夹角是.
故选A.
5．【答案】D
【分析】结合已知利用面积公式得，利用特殊角的函数值求解即可.
【详解】的面积，解得，
因为，所以角的大小为或.
故选D.
6．【答案】A
【分析】根据题意画出图象，结合图象利用勾股定理求解.
【详解】如图：
正四棱锥的底面积为64，则，
又顶点S在在底面上的射影是四边形的中心，
过点作于，连接，
则，
又侧棱长为，
所以该四棱锥的高为.
故选A.
7．【答案】C
【分析】设女、男员工的权重分别为和，根据方差公式可求出结果.
【详解】由题意，记样本中女员工的平均体重和标准差分别为，，所占权重为，
男员工的平均体重和标准差分别为，，所占权重为，
所以样本中全部员工的平均体重为，方差
，
化简得，即，
解得或（舍），
所