泰雅实验学校2025年5月高一数学月考模拟卷
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知，其中为虚数单位，是的共轭复数，则（???）
A． B．2 C． D．8
2．下列结论正确的是（???）
A．若与都是单位向量，则
B．方向为南偏西60°的向量与北偏东60°的向量是共线向量
C．直角坐标平面上的轴，轴都是向量
D．若与是平行向量，则
3．已知点M是平行六面体的面对角线上的动点，则下列直线中与恒为异面直线的是（）
A． B． C．CD D．
4．下列四个命题中正确的是（???）
A．所有棱长都相等的直四棱柱是正方体
B．正三棱锥的每个面都是正三角形
C．以直角三角形的一边所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫做圆锥
D．以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫做圆柱
5．下图是正方体的平面展开图，在这个正方体中，有以下判断：①BF与DN平行；②CM与BN是异面直线；③DF与BN垂直；④AE与DN是异面直线．则判断正确的个数是（）
A．1 B．2 C．3 D．4
6．已知某圆柱与圆锥的高相等，它们的体积之比等于侧面积之比的平方，则圆柱与圆锥的母线长之比为（???）
A． B． C． D．
7．如图，在中，为线段上靠近点的三等分点，为线段上一点，若，则（????）
??
A． B． C． D．
8．在锐角三角形中，内角的对边分别为，且，则的取值范围为（????）
A． B． C． D．
二、多选题
9．已知平面向量，，则下列结论正确的有（???）
A．若，则
B．，则
C．若与的夹角为锐角，则的取值范围为
D．若，则在上的投影向量是
10．圆台的上下底分别是直径为2、4的圆，高为2，则（????）
A．圆台的表面积为 B．圆台的体积为
C．圆台外接球表面积为 D．圆台能装下最大球的体积为
11．如图，在单位正方体中，点在线段上运动，下列命题中错误的是（????）
A．在点运动过程中，直线与始终为异面直线
B．三棱锥的体积为定值
C．异面直线与直线所成的角为定值
D．在点运动过程中，不存在某个位置，使得面平面
三、填空题
12．已知，则复数的虚部是.
13．如图，水平放置的四边形的斜二测直观图为矩形，已知，，则四边形的周长为.
14．某半球形容器如图（左）所示，底面圆的半径为2.往其中放入四个大小相同的小球，每个小球都与半球面相切，也与底面相切，其俯视图如图（右）所示，则小球的表面积等于.
四、解答题
15．已知复数.
(1)若z为纯虚数，求a的值；
(2)若z在复平面内对应的点位于第二象限，求a的取值范围及的最小值．
16．已知三棱柱（如图所示），底面是边长为2的正三角形，侧棱底面，，为的中点.
（1）若为的中点，求证：平面；
（2）证明：平面；
（3）求三棱锥的体积.
17．已知向量，.
(1)求的值；
(2)若，，且，，三点共线，求实数的值.
18．在中，角、、所对的边分别为、、，且，.
(1)求；
(2)若为锐角三角形，求的面积范围.
19．如下如图，水平桌面上放置一个透明塑料制成的长方体水槽，水面高度恰为长方体高的一半，在该长方体侧面上有一个小孔点到的距离为3.将该长方体水槽绕倾斜（始终在桌面上，如下如图所示），此时水恰好流出时，液面与棱分别相交于点.
(1)证明：四边形是矩形；
(2)当水恰好流出时，求二面角的大小.
泰雅实验学校2025年5月高一数学月考模拟卷
参考答案
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
C
B
C
D
B
A
C
C
ABD
BC
题号
11
答案
ABC
1．C
【分析】根据复数的乘法运算和共轭复数的概念可得，结合复数的几何意义即可求解.
【详解】由，得，
所以，所以.
故选：C
2．B
【分析】根据单位向量、方位角、平行（共线）向量等的定义判断各项的正误.
【详解】A：由单位向量只是模长相等，但方向任意，故不一定成立，错；
B：如下图，上北右东，则南偏西60°的向量，北偏东60°的向量，
显然它们是方向相反的向量，即为共线向量，对；
C：直角坐标系中，、轴有方向，但无大小，与向量的概念不符，错；
D：与是平行向量，也有可能方向相反的情况，故不一定成立，错.
故选：B
3．C
【分析】举反例，排除ABD，结合异面直线定义证明C正确.
【详解】对于A，当点位于位置时，直线与直线相交，故A错误；
对于D，当点位于位置时，直线与直线相交，故D错误；
对于B，当点位于的中点时，如图，
因为四边形为平行四边形，所以也为的