7．5正态分布（单元教学设计）
一、【单元目标】
（1）利用实际问题的频率分布直方图，了解正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．
（2）了解变量落在区间[m-s,m+s]，[m-2s,m+2s]，[m-3s,m+3s]内的概率大小．
（3）会用正态分布去解决实际问题．
二、【单元知识结构框架】
三、【学情分析】
本次授课对象为高二学生，他们在之前已掌握概率基础、随机变量等知识，具备一定数学抽象与逻辑
推理能力，这为学习正态分布奠定基础．然而，正态分布概念抽象，涉及复杂的概率密度函数和参数理解，
学生可能在理解其本质和应用上存在困难．部分学生思维活跃，对实际案例兴趣浓厚，但自主探究和数据
分析能力有待提升．教学中，应借助生活实例引入，利用图形、软件直观展示，降低理解难度．同时，设
计小组合作与实践活动，鼓励学生自主探究，在交流中深化对正态分布的认识，逐步提高他们运用知识解
决实际问题的能力．
四、【教学设计思路/过程】
课时安排：约1课时
教学重点：正态分布的特征，概率的表示，正态分布的均值，方差及其含义．
教学难点：正态分布随机变量的概率分布．
教学方法/过程：
五、【教学问题诊断分析】
环节一、情景引入，温故知新
情景：一所学校同年级的同学的身高，特别高的同学比较少，特别矮的同学也不多，大都集中在某个
高度左右；某种电子产品的使用寿命也都接近某一个数，使用期过长，或过短的产品相对较少．生活中这
样的现象很多，是否可以用数学模型来刻画呢？
环节二、抽象概念，内涵辨析
1．正态曲线及其特征
问题1：下列随机变量哪个是离散型随机变量：
（1）掷一枚骰子一次，用X表示所得点数；
（2）白炽灯的使用时间．
【破解方法】（1）是，（2）不是．
问题2：教材P74例2的高尔顿板试验中，随着重复次数的增加，频率分布直方图的形状会越来越像一
条钟形曲线，那么这条曲线是否存在函数解析式呢？
【破解方法】存在．
【归纳新知】
正态曲线
2
?x-m?
1-2
我们称f(x)=e2s，x?R，其中m?R，s0为参数，为正态密度函数，称它的图象为
s2π
正态密度曲线，简称正态曲线．
若随机变量X的概率密度函数为f(x)，则称随机变量X服从正态分布，记为X~N?m,s2?，特别地，
当m=0，s=1时，称随机变量X服从标准正态分布．
由X的密度函数及图象可以发现，正态曲线还有以下特点
（1）曲线是单峰的，它关于直线x=m对称；
1
（2）曲线在x=m处达到峰值；
s2p
x
（3）当|x|无限增大时，曲线无限接近轴．
（4）当σ一定时，曲线的位置由μ确定，曲线随着μ的变化而沿x轴平移，如图①．
（5）当μ一定时，曲线的形状由σ确定，当σ较小时，峰值高，正态曲线“瘦高”，表示随机变量X
的分布比较集中；当σ较大时，峰值低，正态曲线“矮胖”，表示随机变量X的分布比较分散，如图②．
正态分布的几何意义：
若X～N(m,s2)，如图所示，X取值不超过x的概率P(X￡x)为图中区域A的面积，而P(a￡X￡b)
为区域B的面积．
正态分布的期望与方差
若X~N?m,s2?，则E(X)=m，D(X)=s2．
正态变量在三个特殊区间内取值的概率
（1）P(m-s￡X￡m+s)?0.6827；
（2）P(m-2s￡