第3讲小专题:碰撞模型及其拓展
考点一碰撞模型
质量为m1、速度为v1的小球A与质量为m2的静止小球B发生弹性碰撞。
试分析:(1)若m1=m2,则碰后,两者的速度v1′、v2′分别是多少?
(2)若m1m2,则碰后两者的速度v1′、v2′方向有什么特点?当m1?m2时,两者的速度v1′、v2′大小有什么特点?
(3)若m1m2,则碰后,两者的速度v1′、v2′方向有什么特点?当m1?m2时,两者的速度v1′、v2′大小有什么特点?
提示:(1)当m1=m2时,v1′=0,v2′=v1(质量相等,速度交换)。
(2)当m1m2时,v1′0,v2′0,且v2′v1′(大碰小,一起跑);当m1?m2时,v1′≈v1,v2′≈2v1(极大碰极小,大不变,小加倍)
(3)当m1m2时,v1′0,v2′0(小碰大,要反弹);当m1?m2时,v1′≈-v1,v2′≈0(极小碰极大,大不变,小反弹)。
1.碰撞问题遵守的三条原则
(1)动量守恒:p1+p2=p1′+p2′。
(2)动能不增加:Ek1+Ek2≥Ek1′+Ek2′或p122m1+p
(3)速度符合实际。
①两物体同向运动,碰前有v后v前;碰后原来在前的物体速度有v前′v前;若碰后两物体同向运动有v前′≥v后′。
②碰前两物体相向运动,碰后两物体的运动方向至少有一个改变。
2.碰撞的种类
(1)弹性碰撞。
碰撞结束后,形变全部消失,动能没有损失,不仅动量守恒,而且初、末动能相等。对对心正碰有
(2)非弹性碰撞。
碰撞中机械能有损失。
动量守恒:m1v1+m2v2=m1v1′+m2v2′,
能量守恒:12m1v12+12m2v22=12m1v1′2+12m2v
(3)完全非弹性碰撞。
碰撞结束后,两物体合二为一,以同一速度运动,动能损失最大。对对心正碰有
[例1]【碰撞的可能性】(2024·浙江杭州期中)(多选)如图甲所示,“充气碰碰球”游戏是一项很减压的趣味运动项目。为了研究其中的碰撞规律,简化为如图乙所示的模型:直径相同的A球和B球碰撞前后都在同一水平直线上运动,碰前A球的动量pA=50kg·m/s,B球静止,碰后B球的动量变为pB′=40kg·m/s。则两球质量mA与mB间的关系可能是()
[A]mB=0.3mA [B]mB=mA
[C]mB=1.5mA [D]mB=5mA
【答案】BC
【解析】以A球的初速度方向为正方向,由碰撞过程系统动量守恒得pA=pA′+pB′,解得pA′=10kg·m/s,根据碰撞过程总动能不增加,有pA22mA≥pA22mA+pB22mB,解得mB≥23mA,碰后两球同向运动,A的速度不大于B的速度,则有pAmA≤pBmB
[例2]【弹性碰撞】(2024·广东卷,10)(多选)如图所示,光滑斜坡上,可视为质点的甲、乙两个相同滑块,分别从H甲、H乙高度同时由静止开始下滑。斜坡与水平面在O处平滑相接,滑块与水平面间的动摩擦因数为μ,乙在水平面上追上甲时发生弹性碰撞。忽略空气阻力。下列说法正确的有()
[A]甲在斜坡上运动时与乙相对静止
[B]碰撞后瞬间甲的速度等于碰撞前瞬间乙的速度
[C]乙的运动时间与H乙无关
[D]甲最终停止位置与O处相距H
【答案】ABD
【解析】两滑块在光滑斜坡上加速度相同,同时由静止开始下滑,相对速度为0,故A正确;两滑块滑到水平面后均做匀减速运动,由于两滑块质量相同,且发生弹性碰撞,可知碰后两滑块交换速度,即碰撞后瞬间甲的速度等于碰撞前瞬间乙的速度,故B正确;设斜面倾角为θ,乙下滑过程有H乙=12gsinθt12,在水平面运动一段时间t2后与甲相碰,碰后以甲碰前速度做匀减速运动经过时间t3后停止,乙运动的时间为t=t1+t2+t3,由于t1与H乙有关,则总时间与H乙有关,故C错误;乙下滑过程根据动能定理有mgH乙=12mv乙2,由于甲和乙发生弹性碰撞,交换速度,则可知甲最终停止位置与不发生碰撞时乙最终停止的位置相同,如果不发生碰撞,乙在水平面运动到停止有v乙2=2μgx,联立可得x=H乙
[变式]若倾角为θ的足够长的斜面上,甲、乙两滑块质量均为m,开始相距为L,其中滑块甲光滑,滑块乙与斜面间的动摩擦因数为μ,μ=tanθ。甲、乙同时由静止开始释放,一段时间后甲与乙发生第一次碰撞,假设每一次碰撞时间都极短,且都是弹性正碰,重力加速度为g,则
(1)第一次碰前甲的速度为多少?
(2)从开始释放到第二次碰撞的时间间隔为多少?
【答案】(1)2gLsin
【解析】(1)对乙由受力分析知,释放后其处于静止状态,滑块甲沿斜面下滑时,根据牛顿第二定律mgsinθ=ma,
解得a=gsinθ,
对滑块甲,设从开始释放到甲与乙第一次碰撞所用时间为t1,根据运动学公式
L=12at
t