【变式训练】1.如图所示，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是平行四边形，M，N，Q分别为BC，PA，PB的中点.(1)求证：平面MNQ∥平面PCD；(2)在线段PD上是否存在一点E，使得MN∥请说明理由.(1)证明：∵底面ABCD是平行四边形，M，N，Q分别为BC，PA，PB的中点，∴NQ∥AB，MQ∥PC.∵AB∥CD，∴NQ∥CD.∵MQ平面PCD，PC?平面PCD，∴MQ∥平面PCD.同理NQ∥平面PCD.又MQ∩NQ＝Q，∴平面MNQ∥平面PCD.的值. 2.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是平行四边形，M是AD的中点.过点M且平行于平面PCD的平面交棱PB于点E.求PEEB解：设过点M且平行于平面PCD的平面交棱BC于点N，连接MN，NE，ME，如图所示. 因为平面MNE∥平面PCD，平面MNE∩平面ABCD＝MN，平面PCD∩平面ABCD＝CD，所以MN∥CD.同理可证EN∥CP.因为M是AD的中点，AB∥CD，所以N是BC的中点.所以E是BP的中点.⊙平行关系的综合应用三种平行关系之间的转化其中线面平行是核心，线线平行是基础，要注意他们之间的灵活转化.[例3]如图所示，四边形EFGH为空间四边形ABCD的一个截面，四边形EFGH为平行四边形.(1)求证：AB∥平面EFGH，CD∥平面EFGH；(2)若AB＝4，CD＝6，求四边形EFGH周长的取值范围.(1)证明：∵四边形EFGH为平行四边形，∴EF∥HG.∵HG?平面ABD，EF平面ABD，∴EF∥平面ABD.又∵EF?平面ABC，平面ABD∩平面ABC＝AB，∴EF∥AB.又∵AB平面EFGH，EF?平面EFGH，∴AB∥平面EFGH.同理可证，CD∥平面EFGH.【题后反思】 利用线面平行的性质，可以实现与线线平行的转化，尤其在截面图的画法中，常用来确定交线的位置，对于最值问题，常用函数思想来解决.【高分训练】 如图所示，平面α∥平面β，点A∈α，点C∈α，点B∈β，点D∈β，点E，F分别在线段AB，CD上，且AE∶EB＝CF∶FD.(1)求证：EF∥平面β；(2)若E，F分别是AB，CD的中点，AC＝4，BD＝6，且AC，BD所成的角为60°，求EF的长. (1)证明：①当AB，CD在同一平面内时，由平面α∥平面β，平面α∩平面ABDC＝AC，平面β∩平面ABDC＝BD，知AC∥BD.∵AE∶EB＝CF∶FD，∴EF∥BD.又EFβ，BD?β，∴EF∥平面β.②当AB与CD异面时，如图所示，设DH?平面ACD，DH?平面β，且线段DH＝AC.∵平面α∥平面β，平面α∩平面ACDH＝AC，∴AC∥DH，∴四边形ACDH是平行四边形.在AH上取一点G，使AG∶GH＝CF∶FD，连接EG，FG，BH，则AE∶EB＝CF∶FD＝AG∶GH.∴GF∥HD，EG∥BH.又∵EG，GF平面β，BH，HD?平面β，∴EG∥平面β，GF∥平面β.又∵EG∩GF＝G，EG，GF?平面EFG，∴平面EFG∥平面β.又∵EF?平面EFG，∴EF∥平面β.即证EF∥平面β.(2)解：如图所示，连接AD，取AD的中点M，连接ME，MF.∵E，F分别为AB，CD的中点，∴ME∥BD，MF∥AC，第四讲直线、平面平行的判定与性质 从定义和基本事实出发，借助长方体，通过直观感知，了解空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行关系，归纳出性质定理与判定定理，并加以证明.表示方法文字语言图形语言符号语言判定定理平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行(简记为“线线平行?线面平行”) ?l∥α1.直线与平面平行的判定定理和性质定理表示方法文字语言图形语言符号语言性质定理一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行(简记为“线面平行?线线平行”)?a∥b表示方法文字语言图形语言符号语言判定定理一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行(简记为“线面平行?面面平行”)?α∥β2.平面与平面平行的判定定理和性质定