第三讲二项式定理
1.能用多项式运算法则和计数原理证明二项式定理.2.会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题.
1.二项式定理
2.二项式系数的性质
【名师点睛】二项展开式形式上的特点(1)项数为n＋1.(2)各项的次数都等于二项式的幂指数n，即a与b的指数的和为n. (3)字母a按降幂排列，从第一项开始，次数由n逐项减1直到0；字母b按升幂排列，从第一项开始，次数由0逐项加1直到n. (4)(a＋b)n的展开式与(b＋a)n的展开式的项完全相同，但两个展开式的通项不同.
(5)二项式系数与项的系数是完全不同的两个概念.二项式系数是指它只与各项的项数有关，而与a，b的值无关；项的系数是指该项中除变量外的常数部分，它不仅与各项的项数有关，还与a，b的值有关.
考点一二项展开式中的特定项或系数A.－40B.40C.－80D.80
答案：D
答案：BC
答案：6
【题后反思】与二项展开式有关问题的解题策略(1)求展开式中的特定项，可依据条件写出第r＋1项，再由特定项的特点求出r的值即可. (2)已知展开式的某项，求特定项的系数，可由某项得出参数项，再由通项写出第r＋1项，由特定项得出r的值，最后求出其参数.
考点二二项式系数的和与各项的系数和问题
答案：－160
(2)若(1－3x)5＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a5x5，则a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝__________.解析：令x＝1，则(1－3×1)5＝a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝－32，令x＝0，则(1－3×0)5＝a0＝1，所以a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5－a0＝－32－1＝－33.答案：－33
【题后反思】求解系数和问题常用的“赋值法” 赋值法是指对二项式中的未知元素赋值，从而求得二项展开式的各项系数和的方法.求解有关系数和问题的关键点如下： (1)赋值，观察已知等式与所求式子的结构特征，确定所赋的值，常赋的值有－1，0，1等.(2)求参数，通过赋值，建立参数的相关方程，解方程，可得参数值.(3)求值，根据题意，得出指定项的系数和.
【变式训练】1.(多选题)已知f(x)＝(2x－3)n(n∈N*)展开式的二项式系数和为512，f(x)＝a0＋a1(x－1)＋a2(x－1)2＋…＋an(x－1)n，下列选项正确的是()A.a1＋a2＋…＋an＝1B.a1＋2a2＋3a3＋…＋nan＝18C.f(6)被8除的余数为1D.|a0|＋|a1|＋…＋|an|＝39
答案：BCD
2.(2024年上海普陀模拟)已知(1＋x)n展开式的各项系数之和为64，展开式中x2项的系数为________.答案：15
考点三二项式系数的性质考向1二项式系数的最值问题
答案：－160
考向2项的系数的最值问题
答案：5
答案：1013或1014
⊙几个多项式的展开式问题A.5B.10C.15D.20
答案：C
[例5](2x2－3x＋a)5的展开式的各项系数之和为1，则该展开)式中含x7项的系数是( A.－600 C.－1080B.－840D.－2040
答案：D
【反思感悟】(1)求解形如(a＋b)m(c＋d)n的展开式问题的思路①若m，n中有一个比较小，可考虑把它展开，如(a＋b)2(c＋d)n＝(a2＋2ab＋b2)(c＋d)n，然后分别求解；②观察(a＋b)(c＋d)是否可以合并，如(1＋x)5(1－x)7＝[(1＋x)(1－x)]5(1－x)2＝(1－x2)5(1－x)2.
(2)求解三项式问题的思路 ①对于三项式问题，一般是通过合并、拆分或因式分解，转化成二项式定理的形式去求解；或看成几个因式的乘积，再利用组合数公式求解. ②求三项展开式的项时，可看作是把次数“分配”给不同的
【高分训练】1.(2024年江苏扬州期末考)(x－y)(x＋y)8的展开式中x2y7的系数为()A.20B.－20C.28D.－28答案：B
答案：D