广东省东莞市东莞中学2024?2025学年高一下学期3月月考数学试题
一、单选题
1．已知，，则（???）
A． B． C． D．
2．在中，点在线段上，且，则（????）
A． B．
C． D．
3．复数满足，其中为虚数单位，则（????）
A．2 B． C．1 D．
4．已知、是两个不共线的向量，且向量，则（????）
A．三点共线 B．三点共线
C．三点共线 D．三点共线
5．已知向量与的夹角为，且，，若，且，则实数的值为
A． B． C． D．
6．两个粒子A，B从同一发射源发射出来，在某一时刻，它们的位移分别为，．粒子B相对粒子A的位移为，则在上的投影向量为（????）
A． B． C． D．
7．课本第46页上在用向量方法推导正弦定理采取如下操作：如图在锐角中，过点作与垂直的单位向量，因为，所以，由分配律，得，即，也即．请用上述向量方法探究，如图直线与的边、分别相交于点、．设，，，．则与的边和角之间的等量关系为（????）
A． B．
C． D．
8．如图，设是平面内相交成的两条数轴，分别是与轴，轴正方向同向的单位向量，若向量，则把有序数对叫做向量在坐标系中的坐标，记作．若，则的值为（????）
??
A． B． C． D．
二、多选题
9．已知i为虚数单位，以下四个说法中正确的是（????）
A．
B．复数的虚部为
C．若，则复平面内对应的点位于第二象限
D．已知复数z满足，则z在复平面内对应的点的轨迹为直线
10．下列说法正确的是（???）
A．零向量与任意向量共线
B．已知非零平面向量，，若是平面所有向量的一组基底，且不是基底，则实数
C．已知非零平面向量，，若存在非零向量使得，则
D．平面上三点的坐标分别为，，，若四边形为平行四边形，则的坐标是
11．在中，内角，，所对的边分别为，，，则下列说法正确的是（???）
A．若，且，则为等边三角形
B．若点是边上的点，且，则的面积是面积的
C．若平面内有一点满足：，且，则为等边三角形
D．若，则为锐角三角形
三、填空题
12．设为虚数单位，若为纯虚数，则实数.
13．如果向量满足，则与的夹角是．
14．如图，在直角中，，为上的点，为上的点，若，，，，则．
四、解答题
15．实系数一元二次方程有虚根，另一根为.
(1)求实数的值；
(2)求的值.
16．在中，，，，分别为边、上的点，且，.
（1）用向量方法求证：；
（2）求.
17．在数学建模课上，老师给大家带来了一则新闻：“2019年8月16日上午，423米的东莞第一高楼民盈国贸中心2号楼（以下简称“国贸中心”）正式封顶，随着最后一方混凝土浇筑到位，标志着东莞最高楼纪录诞生，由东莞本地航母级企业民盈集团刷新了东莞天际线，比之前的东莞第一高楼台商大厦高出134米.”在同学们的惊叹中，老师提出了问题：国贸中心真有这么高吗？我们能否运用所学知识测量验证一下？一周后，两个兴趣小组分享了他们各自的测量方案.
第一小组采用的是“两次测角法”：他们在国贸中心隔壁的会展中心广场上的点测得国贸中心顶部的仰角为，正对国贸中心前进了米后，到达点，在点测得国贸中心顶部的仰角为，然后计算出国贸中心的高度（如图）.
第二小组采用的是“镜面反射法”：在国贸中心后面的新世纪豪园一幢11层楼（与国贸中心处于同一水平面，每层约3米）楼顶天台上，进行两个操作步骤：①将平面镜置于天台地面上，人后退至从镜中能看到国贸大厦的顶部位置，测量出人与镜子的距离为米；②正对国贸中心，将镜子前移米，重复①中的操作，测量出人与镜子的距离为米.然后计算出国贸中心的高度（如图）.
实际操作中，第一小组测得米，，，最终算得国贸中心高度为；第二小组测得米，米，米，最终算得国贸中心高度为；假设他们测量者的“眼高”都为米.
（1）请你用所学知识帮两个小组完成计算（参考数据：，,答案保留整数结果）；
（2）你认为哪个小组的方案更好，说出你的理由.
18．已知分别为三个内角的对边，且.
（1）求；
（2）若.再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求周长.
条件①：中线长为；条件②：的面积为.
注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分.
（3）若为锐角三角形，求的取值范围.
19．已知为坐标原点，对于函数，称向量为函数的相伴特征向量，同时称函数为向量的相伴函数．
（1）记向量的相伴函数为，若，且，求的值；
（2）设，试求函数的相伴特征向量，并求出与方向相同的单位向量；
（3）已知，，为函数的相伴特征向量，，请问在的图象上是否存在一点，使得?若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由．
参考答案
1．【答案】B
【详解】由题意得，，
所以．
故选B
2．【答案】A
【详解】在中，由，得，则，
所以.
故选A