甘肃省皋兰县第一中学2023?2024学年高一下学期期末考试数学试题
一、单选题（本大题共8小题）
1．已知复数，其中，i是虚数单位，则（????）
A． B． C．1 D．6
2．中国古代科举制度始于隋而成于唐，兴盛于明、清两朝．明代会试分南卷、北卷、中卷，按的比例录取，若某年会试录取人数为200，则北卷录取人数为（????）
A．70 B．20 C．110 D．150
3．已知正六边形，则（????）
A． B． C． D．
4．圆台上、下底面半径分别是1，2，高为，这个圆台的体积是（????）
A． B．
C． D．
5．在中，三边长分为，则最大角和最小角之和是（????）
A． B． C． D．
6．小张某一周的总开支分布如图①所示，该星期的食品开支如图②所示，则以下说法正确的是（????）
A．储蓄比通信开支多50元 B．日常开支比食品中的其他开支少150元
C．娱乐支出为100元 D．肉类开支占总开支的
7．已知四边形的对角线交于点O，E为的中点，若，则（????）
A． B． C． D．1
8．在正方体中，O为底面ABCD的中心，P为棱的中点，则下列说法正确的是（????）
A． B．
C． D．
二、多选题（本大题共3小题）
9．如图，在方格中，向量的起点和终点均为小正方形的顶点，则（????）
??
A． B． C． D．
10．下列各式中，值为的是（????）
A． B． C． D．
11．已知正四面体ABCD的各棱长均为2，下列结论正确的是（????）
A．正四面体ABCD的高为
B．正四面体ABCD的体积为
C．正四面体ABCD的外接球的半径为
D．正四面体ABCD的内切球的表面积为4π
三、填空题（本大题共3小题）
12．已知（i是虚数单位），则z的虚部为.
13．已知向量，，若，则实数的值为.
14．某地为了更好地开发当地的旅游资源，决定在两座山头建一条索道，现测得两座山高分别为米，米．从山脚下的处测得处的仰角为，处的仰角为，，点，，在同一水平面内，，，则两座山的山顶，之间的距离是米．（参考数据：，）
四、解答题（本大题共5小题）
15．已知．
（1）求的值；
（2）求的值．
16．如图，在三棱锥P-ABC中，底面ABC，，D为BP的中点，.
(1)求证：平面PAB；
(2)求证：平面PBC.
17．某政府部门为促进党风建设，拟对政府部门的服务质量进行量化考核，每个群众办完业务后可以对服务质量进行打分，最高分为100分.上个月该部门对100名群众进行了回访调查，将他们按所打分数分成以下几组：第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，得到频率分布直方图如图所示.
(1)估计所打分数的众数，平均数；（同一组中的数据用该组区间的中点值作为代表）
(2)该部门在第一?二组群众中按比例分配的分层抽样的方法抽取6名群众进行深入调查，之后将从这6人中随机抽取2人聘为监督员，求监督员来自不同组的概率.
18．在锐角中，角的对边分别为，的面积为，已知.
(1)证明：；
(2)若，，求的周长.
19．如图，在四棱锥中，平面PAB，且在四边形PACQ中，，，二面角的大小为，且.
(1)点E为BC的中点，证明：平面PAB；
(2)求直线BQ与平面PACQ所成角的正弦值.
参考答案
1．【答案】D
【分析】利用复数的乘法和复数相等的定义，求出的值即可.
【详解】由，得，所以，所以．
故选D.
2．【答案】A
【分析】由分层抽样的抽取比例乘以样本容量即可求解.
【详解】会试录取人数为200时，根据分层抽样的性质可知，
北卷录取人数为．
故选A.
3．【答案】B
【分析】根据相等向量和向量的加减运算即可求解.
【详解】由正六边形的特征可知,，
所以.
故选B.
4．【答案】D
【分析】直接代入圆台的体积公式计算即可.
【详解】由题意.
故选D.
5．【答案】B
【分析】设为的最小角，为的最大角，利用余弦定理求得的大小，即可求解.
【详解】设为的最小角，为的最大角，
由余弦定理，可得，
因为，所以，所以，即最大角和最小角之和是.
故选B.
6．【答案】C
【分析】根据图表信息对选项一一分析即可得出答案.
【详解】由食品开支图，可知食品开支为（元），所以一星期的总开支为（元），其中娱乐支出为（元），故C正确；
储蓄比通信开支多（元），故A错误；
日常开支为（元），故日常开支比食品中的其他开支多150元，故B错误；
肉类开支占总开支的，故D错误.
故选C.
7．【答案】A
【分析】利用向量的线性运算结合平面向量基本定理可求的值.
【详解】由已知得，，
故，又B，O，D共线，
故，所以.
故选A.
8．【答案】C
【分析】根据正方体的几何性质，即可根据线线平行以及垂直关系的转化即可结合选项逐一求解